1、江西省2021届高三下学期5月联考数学试卷（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.签卷前，考生务必将自己的姓名、考生号考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择題时，选出每小題答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A.B.C.D.2设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三
2、象限D.第四象限3.抛物线的焦点为F，在C上有一点P，PF的中点M到C的准线l的距离为A.6B.8C.4D.124.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量n与人侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期基于现有数据得出，.据此累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（，）A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹
3、角的余弦值为A.B.C.D.6.家庭开支是指一般生活开支的人均细分.如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同根据以上信息，判断下列结论中正确的是A.小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B.小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C.小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D.小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%7.九章算术中一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、比例分配的意思，它是古代处理分配问题的一般方法.衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自
4、为实，实如法而一.今有牛、马、羊、小牛、小马、小羊吃了别人的庄稼苗，苗主要求六头家畜的主人赔偿粟共五斗，这六头家畜每头需赔偿的粟依次是前一头的一半，则小马和小羊的主人需要赔偿的粟之和为A.斗B.斗C.斗D.斗8.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A.45B.135C.60D.1209.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的简型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧
5、面，则该玉琮的体积为A.B.C.D.10.垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为A.B.C.D.11把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则A.B.的最小正周期为C. 的图象关于直线对称D.在上单调递减12.已知函数，现有下列四个结论：是奇函数；当时，恰
6、有两个零点；若为增函数则；当时，恰有两个极值点.所有正确结论的编号是A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13.若x，y满足约束条件则的最大值为_.14.设是等差数列的前n项和，若，则_.15.已知函数的定义域为R，对任意，恒成立，且当时，则_.16.已知双曲线的右焦点为F，其一条渐近线的方程为，点P为双曲线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为_；_.（第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共
7、60分17.（12分）17.2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家农产品加工厂，该两厂加工的是同一种农产品.食品安全部门各随机抽检了两个加工厂生产的100件产品，在抽取中的200件产品中，根据检测结果将它们分为AB，C三个等级，A，B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：等级ABC频数2011565（1）根据所提供的数据，完成下面的22列联表；合格品次品合计甲25乙60合计（2）判断是否有99%的把我认为产品
8、的合格率与厂家有关附：，其中.0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）若，求C；（2）若，求的面积.19.（12分）已知函数 .（1）若，求曲线在点处的切线方程.（2）若，证明：存在极小值.20.（12分）如图，在三棱柱中，.（1）证明：平面平面.（2）若，求到平面的距离.21.（12分）已知椭圆的离心率为，圆上的点离右焦点F的最短距离为1.（1）求椭圆E的方程.（2）直线l（斜率不为0）经过F点，与椭圆E交于A，B两点问x轴上是否存在一定点P，使得？若存在，求出P
9、点的坐标；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知点，直线1与曲线C交于A，B两点，求.23.【选修4-5；不等式选讲】（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求M的最小值.高三数学试卷参考答案（文科）1.A【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为，所以.2.D【
10、解析】本题考查复数的四则运算及复数的概念，考查运算求解能力.因为，所以z在复平面内对应的点位于第四象限.3.A【解析】本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.如图，过P作于C，由抛物线的定义可知，故PF的中点M到C的准线l的距离为.4.C【解析】本题考查函数的性质，考查信息提取能力及运算求解能力.因为，所以，解得.设初始时间为，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加3倍后的时间为，则天.5.D【解析】本题考査三视图，考查空间想象能力与运算求解能力.该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图，由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5.计算可得最长棱，最短棱.因为，
11、所以最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为.6.C【解析】本题考查统计图，考查数据处理能力.因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a则2017年总收入为，2020年总收入为.因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了，即增加了50%，所以A错误.因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为和，所以B错误.因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为和，明显增加，所以C正确.因为小王家2017年和2020年的总收人不一样，所以D错误.7.C【解析】本题考查等比数列，考查运算求解能力.设牛、马、羊、小牛、小马、小羊的主人需要赔偿的粟的数量分别为，则该数列是以为公比的等比
12、数列，且前六项和为5.设前四项的和为m，后两项的和为n.因为m，所以，所以，得.故.8.B【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力.因为，所以，所以.设与的夹角为，则.因为，所以.9.A【解析】本题考查简单空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力.由图可知，组合体的体积.10.C【解析】本题考查相古典概率，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为12，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有（1，3），（1，4），（3，2），（4，2），共4种，而随机投放的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，
13、3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种，所以所求概率.11.D【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.将其图象向左平移个单位长度得到的图象再向上平移1个单位长度可得到的图象，故A，B错误.令，得，当时，；当时，故C错误.令，得，所以在上单调递减，故D正确.12.B【解析】本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为的定义域为R，且，所以为奇函数，故正确.当时，则，所以在R上为增函数.因为，所以有且只有一个零点，故错误.，若为增函数，则对任意的恒成立，即.令，则，令，则，所以函数在R上为增函数因为
14、，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.由，得，故正确.当时，则.由可知，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以在和上分别存在一个零点，所以有两个极值点，故正确.13.1【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力.作出可行域（图略）知，当直线过点时取得最大值，且最大值为1.14.64 【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力.设的公差为d.因为所以所以.15.54【解析】本题考査函数的性质，考查运算求解能力.因为，所以.16.；8【解析】本题考查双曲线的离心率及圆的方程，考查化归与转化的数学思想.设F为双曲线的左焦点，因为，一条渐近线的方程为.所以，故离心率.圆的圆心为双曲线的左焦点，连接（
15、图略）.因为，所以P在双曲线的右支上由，得.17.解：（1）22列联表如下：合格品次品合计甲7525100乙6040100合计13565200（2），所以没有99%的把我认为产的合格率与厂家有关.评分细则：【1】第（1）问表格若只填对部分数据，酌情给12分；【2】第（2）问中没有求出近似值，不扣分.18解：（1）因为，所以.因为，所以.所以.因为，所以.（2）由余弦定理得，因为，所以，所以，.故.评分细则：【1】第（1）问若忽略了，求出两个答案，扣2分；【】第（2）问若用其他方法解答，按解答步骤给分.19.解：（1）当时，所以.所以，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）由，得.令，则.当时，
16、；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为，所以，.因为在上单调递增，所以存在，使得，在上，在上，即在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，故存在极小值.评分细则：【1】第（1）问中切线方程没有写成一般式，不扣分；【2】第（2）问若用其他方法解答，按解答步骤给分.20.（1）证明：如图，连接，在中，由余弦定理得，所以，所以.同理.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：过作于D，连接BD，.由（1）知平面ABC，所以平面ABC.因为，所以，.因为，所以.因为，所以，所以.在中，因为，所以.因为，所以，.在中因为，所以，所以，于是的面积为.因为，所以三棱锥的体
17、积为.记到平面的距离为d.因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相同，所以，解得，即到平面的距离为.评分细则：【1】第（1）问请严格按步骤给分；【2】第（2）问若用其他方法解答，按解答步骤给分.21解：（1）因为，所以，因为椭圆上的点离右焦点F的最短距离为，所以，所以椭圆E的方程为.（2）当P与F重合时，显然符合题意；当P与F不重合时，设直线l的方程为，联立方程组得，则，.因为，所以PF为的角平分线，所以，即，整理得，即，解得，故存在，满足题意.评分细则：【1】第（1）问请严格按步骤给分；【2】第（2）问也可设直线l的方程为，没有考虑P与F重合的情况，扣1分.参照上述步骤给分.22.解：（1）由得，即
18、直线的普通方程为.由，得.因为，故曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（t为参数），化为标准形式（t为参数），代入，得.设A，B对应的参数分别为，则，.可知，异号，所以.因为，所以.评分细则：【1】第（1）问直线方程未写成一般式不扣分，曲线C的直角坐标方程未写成标准形式也不扣分；【2】第（2）问若用其他方法解答，解答正确则正常给分.23.解：（1）当时，.当时，恒成立，所以；当时，由，得，所以；当时，不成立.所以不等式的解集为.（2）因为对任意的恒成立，所以，因为，所以.因为，所以.，当且仅当，即时取等号，所以M的最小值为8.评分细则【1】第（1）问也可以先将写成分段函数，再结合函数单调性解答，解答正确则正常给分；【2】第（2）问中没有说明取等条件，扣1分.
