1、第二章 圆锥曲线与方程21 椭 圆21.1 椭圆及其标准方程第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养 椭圆的定义理解并掌握椭圆的定义数学抽象 椭圆的标准方程掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程，掌握求椭圆标准方程的基本方法逻辑推理问题导学预习教材 P32P36，并思考下列问题：1平面内满足什么条件的点的轨迹是椭圆？2椭圆的焦点、焦距分别是什么？3椭圆的标准方程是什么？1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹(2)焦点：两个定点 F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|MF2|_(常数)且 2a_|
2、F1F2|.常数2a名师点拨定义中的条件 2a|F1F2|0 不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：(1)当 2a|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2；(2)当 2ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 焦点坐标_ a，b，c 的关系a2_(c，0)(0，c)b2c2名师点拨(1)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”“平方”，右边是 1.(2)椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中含 x2 项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中含 y2 项的分母较大因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”判断(
3、正确的打“”，错误的打“”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2b2c2.()设 P 是椭圆x225y2161 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10答案：D椭圆x225 y21691 的焦点坐标是()A(5，0)B(0，5)C(0，12)D(12，0)答案：C已知方程 x23k y22k1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k的取值范围为_答案：12，2若椭圆的焦点坐标为(3，0)，且经过点(4，0)
4、，则椭圆的标准方程为_答案：x216y271 求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点32，52；(3)经过点 P(2 3，1)，Q(3，2).【解】(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以 4a2 0b21，0a2 1b21，所以a24，b21，所以所求的椭圆的标准方程为y24x21.(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由椭圆的定义知：
5、2a322522232252222 10，即 a 10.又 c2，所以 b2a2c26.所以所求的椭圆的标准方程为y210 x26 1.(3)设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，且 mn)，因为点 P(2 3，1)，Q(3，2)在椭圆上，所以代入椭圆的方程得12mn1，3m4n1，所以m 115，n15，所以椭圆的标准方程为x215y251.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式(2)“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列方程求解 求适合下列条件的椭圆的标准方
6、程(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26；(2)过点(3，2)且与椭圆x29 y241 有相同的焦点解：(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)因为 2a26，2c10，所以 a13，c5，所以 b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为 y2169 x21441.(2)已知椭圆x29 y241 中 a3，b2，且焦点在 x 轴上，所以 c2945.设所求椭圆方程为 x25y2 1(0)，则 9541，解得 10 或 2(舍)，故所求椭圆的标准方程为x215y2101.椭圆定义的应用 已知 P 为椭
7、圆x212y231 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2 的面积【解】在PF1F2 中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即 36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得|PF1|PF2|4 3，即 48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.由得|PF1|PF2|4，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 60 3.1(变条件)若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2 的面积解：由椭圆x212y231 知|PF1|PF2|4 3，|F1F2|6，因为F1PF290，所以|P
8、F1|2|PF2|2|F1F2|236，所以|PF1|PF2|6，所以 SF1PF212|PF1|PF2|3.2(变条件)若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”，求F1PF2 的面积解：由已知得 a2 3，b 3，所以 c a2b2 1233.从而|F1F2|2c6.在PF1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|236，又由椭圆定义知|PF1|PF2|22 34 3，所以|PF2|4 3|PF1|.从而有(4 3|PF1|)2|PF1|236，解得|PF1|32.所以PF1F2 的面积 S12|PF1|F1F2|12 32 63 3
9、2，即PF1F2 的面积是3 32.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 构成的PF1F2 称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解 1已知 F1，F2 为椭圆x225y291 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_解析：由直线AB过椭圆的一个焦点 F1，知|AB|F1A|F1B|，所以在F2AB
10、中，|F2A|F2B|AB|4a20，又|F2A|F2B|12，所以|AB|8.答案：82已知椭圆x29 y221 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2_解析：由题意，得 a29，所以 a3，c2a2b2927，所以 c 7，所以|F1F2|2 7.因为|PF1|4，所以|PF2|2a|PF1|2.所以 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|4222（2 7）224212，所以F1PF2120.答案：120 求与椭圆有关的轨迹方程 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切
11、，圆心P的轨迹为曲线C，求 C 的方程【解】由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆定义可知，曲线 C是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24 y231(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法 用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点
12、法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法1已知 P 是椭圆x24 y281 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为_解析：设 P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得xxP2，yyP2所以xP2x，yP2y，又点 P 在椭圆x24 y28 1 上，所以（2x）24（2y）281，即 x2y221.答案：x2y2212求过点 P(3，0)且与圆 x26xy2910 相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程配方整理得(x3)2y2102，圆心为 C1
13、(3，0)，半径为 R10.设所求动圆圆心为 C(x，y)，半径为 r，依题意有|PC|r，|CC1|Rr，消去 r 得 R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10.又 P(3，0)，C1(3，0)，且|PC1|6b0)的右焦点为 F(3，0)，点(0，3)在椭圆上，则椭圆的方程为()Ax245y2361Bx236y2271Cx227y2181Dx218y291解析：选 D由题意可得a2b29，0 9b21，解得a218，b29，故椭圆的方程为x218y291.3若方程x2my22m11 表示椭圆，则 m 满足的条件是_解析：由方程x2my22m11 表示椭圆，知m0，2m10
14、，m2m1，解得 m12且 m1.答案：mm12且m14已知椭圆y2a2x2b21(ab0)的焦点分别是 F1(0，1)，F2(0，1)，且 3a24b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2 的余弦值解：(1)依题意，知 c1，又 c2a2b2，且 3a24b2，所以 a234a21，即14a21.所以 a24，b23，故椭圆的标准方程为y24x23 1.(2)由于点 P 在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a224.又|PF1|PF2|1，所以|PF1|52，|PF2|32.又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得 cosF1PF2522322222523235，故F1PF2 的余弦值等于35.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放