1、小题押题 1611 直线与圆卷 别 年 份 考题位置 考查内容 命题规律分析 全国卷2016选择题第4题点到直线的距离应用直线与圆的方程为高考命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题呈现，多作为条件结合圆锥曲线进行综合考查直线与圆的位置关系问题单独考查的几率较小2015选择题第7题圆的方程及两点间的距离问题全国卷2017选择题第12题直线与圆的位置关系2016填空题第16题直线与圆相交及弦长的应用考查点一 直线方程及应用1(2013全国卷)已知点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是()A(
2、0,1)B.1 22，12C.1 22，13D.13，12解析：由题意知直线 AB 的方程为 xy1，联立xy1，yaxb消去 x，得 yaba1，当 a0 时，直线 yaxb 与 x 轴交于点ba，0，结合图形知12aba11ba 12，化简得(ab)2a(a1)，则 ab212b.a0，b212b0，解得 b12.考虑极限位置，即 a0，此时易得 b1 22，故选 B.答案：B 考查点二 圆的方程2(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线axy10 的距离为 1，则 a()A43 B34 C.3 D2解析：圆 x2y22x8y130 的标准方程为(x1)2(y4)24，由
3、圆心到直线 axy10 的距离为 1 可知|a41|a212 1，解得 a43.答案：A 3(2015全国卷)已知三点 A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213 C.2 53 D.43解析：在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心所以|AE|23|AD|2 33，从而|OE|OA|2|AE|2143 213.答案：B4(2015全国卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x
4、 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则m24r2，4m2r2，解得m32，r2254.所以圆的标准方程为x322y2254.答案：x322y2254考查点三 直线与圆的位置关系5(2015全国卷)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y轴于 M，N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6 D10解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2E
5、F200，D7EF500.解得D2，E4，F20.圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y24y200，设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1y24，y1y220，所以|MN|y1y2|y1y224y1y24 6.答案：C6(2016全国卷)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD|_.解析：由直线 l：mxy3m 30 知其过定点(3，3)，圆心 O 到直线 l 的距离为 d|3m 3|m21.由|AB|2 3得3m 3m212(3)212，解得 m 33.又
6、直线 l的斜率为m 33，所以直线 l 的倾斜角 6.画出符合题意的图形如图所示，过点 C 作 CEBD，则DCE6.在 RtCDE 中，可得|CD|AB|cos62 3 234.答案：47(2014全国卷)设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2y21 上存在点N，使得OMN45，则 x0 的取值范围是_解析：由题意可知 M 在直线 y1 上运动，设直线 y1 与圆 x2y21 相切于点P(0,1)当 x00 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(1，0)符合要求；当 x00时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需
7、OMP45.特别地，当OMP45时，有 x01.结合图形可知，符合条件的 x0 的取值范围为1,1答案：1,1速解圆的方程圆的 3 种方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)题组突破1(2017长沙模拟)与圆(x2)2y24 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是()A(x 3)2(y1)24B(x 2)2(y 2)24Cx2(y2)24D(x1)2(y 3)24解析：法一：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相
8、同，只需圆心关于直线对称即可由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半 径 为2，设 所 求 圆 的 圆 心 坐 标 为(a，b)，则b0a2 33 1，b02 33 a22，解得a1，b 3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为 2.从而所求圆的方程为(x1)2(y 3)24.法二：由于两圆关于直线对称，因此两圆心的连线必与该直线垂直，则两圆心连线的斜率为 3，备选项中只有选项 D中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为 3，故选 D.答案：D2圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的负半轴相切，圆 C截 x 轴所得的弦长为 2 6，则圆 C 的标准方程为()A(x2 2)2(y 2)28
9、 B(x 2)2(y2 2)28C(x2)2(y 2)28D(x 2)2(y2)28解析：法一：由题意，可设圆 C 的半径为 r，则圆心为r，r2(r0)，由勾股定理，得(6)2r22r2，解得 r2 2，圆心为(2 2，2)，圆 C 的标准方程为(x2 2)2(y 2)28.法二：四个圆的圆心分别为(2 2，2)，(2，2 2)，(2，2)，(2，2)，将它们逐一代入 x2y0，只有A 选项满足，故选 A.答案：A3(2017广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线 x24y 的焦点，且该圆与直线 yx3 相切，则该圆的标准方程是_解析：抛物线 x24y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该
10、圆的标准方程是 x2(y1)2r2(r0)，因为该圆与直线 yx3 相切，所以 r|13|2 2，故该圆的标准方程是x2(y1)22.答案：x2(y1)22解题方略用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于 D，E，F 或 a，b，r 的方程组；(3)解方程组，求出 D，E，F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程 稳解直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系1判定直线与圆位置关系的 2 种方法(1)代数
11、法将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离(2)几何法把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr相离2圆的弦长的 2 种求法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形，即 r2l22d2.(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2或|AB|1 1k2|y1y2|1 1k2y1y224y1y2.典例(1)(2017沈阳模拟)已知直线 l：yk(x 3)和圆C：x2(y1)21，若直线
12、 l 与圆 C 相切，则 k()A0 B 3C 33 或 0 D 3或 0解析 因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C(0,1)到直线l 的距离 d|1 3k|1k2 1，解得 k0 或 k 3.答案 D(2)(2017广州一模)已知直线 yxm 和圆 x2y21 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 AO AB32，则实数 m 的值为()A1 B 32 C 22 D12解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AO(x1，y1)，AB(x2x1，y2y1)，由yxm，x2y21得 2x22mxm210，故 4m28(m21)84m20，即 2m 2，由根与系数的关系得 x1x2
13、m，x1x2m212，y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2.又 AO ABx1x2y1y2x21y2132，故 x1x2y1y212，故 2x1x2m(x1x2)m212，即 m21m2m212，解得 m 22.答案 C解题方略直线与圆的位置关系问题的解题策略(1)讨论直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外
14、点的距离，利用勾股定理计算(3)对于与向量相结合考查直线与圆相交的问题，一是要注意向量的几何意义的应用；二是可利用代数法求解 针对训练1已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4 2 C6 D2 10解析：由题意得，圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24，所以圆 C 的圆心为(2,1)，半径为 2.因为直线 l 为圆 C 的对称轴，所以圆心在直线 l 上，则 2a10，解得 a1，所以|AB|2|AC|2|BC|2(42)2(11)2436，所以|AB|6.答案：C 2已知过点 A(0,
15、1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：x2y24x6y120 交于 M，N 两点若OM ON12，其中 O 为坐标原点，则|MN|()A2 B4C.3D2 3解析：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆 C 的方程可化为(x2)2(y3)21，其圆心为(2,3)，将 ykx1 代入方程 x2y24x6y120，整理得(1k2)x24(k1)x70，所以x1x24k11k2，x1x271k2.OM ONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k1k2 8，由题设可得4k1k1k2 812，得 k1，所以直线 l 的方程为 yx1.故圆心(2,3)恰在直线 l 上，所以|MN
16、|2.答案：A 考法(二)与圆有关的最值、范围问题1与圆的几何性质有关的最值(1)记 C 为圆心，r 为半径，圆外一点 A 到圆上的点的距离最小为|AC|r，最大为|AC|r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为 d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为 dr，最小距离为 dr；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆2与圆上的点(x，y)有关的最值(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2
17、 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题典例(1)(2017天津模拟)设M是圆(x5)2(y3)29上的点，直线 l：3x4y20，则点 M 到直线 l 距离的最大值为()A8 B6C5 D2解析 圆心(5,3)到直线 l 的距离为 d|35432|32425，所以点 M 到直线 l 的距离的最大值为 dr538.答案 A(2)(2017兰州模拟)已知圆 C：(x 3)2(y1)21 和两点A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 t 的取值范围是()A(0,2 B1,2C2,3 D1,3解析 依题意，设点 P(3cos，1sin)，AP
18、B90，AP BP0，(3cos t)(3cos t)(1sin)20，得 t252 3cos 2sin 54sin3，sin3 1,1，t21,9，t0，t1,3答案 D解题方略求解与圆有关的最值问题的方法(1)借助几何性质求最值：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想进行求解(2)建立函数关系式求最值：根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等进行求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的针对训练1(2018 届高三惠州调研)设 m，nR，若直线 l：mxny10 与 x 轴相交于点 A
19、，与 y 轴相交于点 B，且直线 l与圆 x2y24 相交所得的弦长为 2，O 为坐标原点，则AOB 面积的最小值为()A5 B4C3 D2解析：由直线与圆相交所得的弦长为 2，得圆心到直线的距离 d1m2n2 3，所以 m2n2132|mn|，当且仅当 mn 时等号成立所以|mn|16，又 A1m，0，B0，1n，所以AOB 的面积 S12|mn|3，故AOB 面积的最小值为 3.答案：C 2已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(ya4)21.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，使得APB60，则实数 a 的取值范围为()A.2 22，2 22 B.2 22，2 22C2 2，2 2 D.2 2，2 2解析：圆 O 的半径为 1，圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，使得APB60，则APO30.在 RtPAO 中，|PO|2，又圆 M 的半径为 1，圆心坐标为 M(a，a4)，|MO|1|PO|MO|1，|MO|a2a42，a2a4212a2a421，解得 2 22 a2 22.实数 a 的取值范围为2 22，2 22.答案：A “课下练”见“课时跟踪检测（十一）”(单击进入电子文档)