1、第 6 讲 空间向量的概念及运算 A 级训练(完成时间：10 分钟)1.如图，棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 在空间直角坐标系中，若 E，F 分别是BC，DD1 中点，则EF的坐标为()A(1,2，1)B(1,2，1)C(1，2，1)D(1，2,1)2.下列说法中正确的是()A任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底a，b，c中基向量与基底e，f，g中基向量对应相等 3.在空间中，点 M(x,0,0)与点 A(2,0,1)和点 B(1，3,1)的距离相等，则 x()A3B3C2D2 4.向量 a(0
2、,1，1)，b(0,1,0)，则 a 与 b 的夹角为()A0 B30C45 D60 5.已知向量 a(1,2,2)，b(1,1,1)，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为_ 6.已知点 A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若AP2PB，则|PD|的值是_ 7.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AB1 的中心，F 为A1D1 的中点试计算：(1)BCED1；(2)EFFC1.B 级训练(完成时间：15 分钟)1.限时 2 分钟，达标是()否()已知三棱锥 O-ABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且OA a，OB b，O
3、C c，用a，b，c 表示MN，则MN 等于()A.12(bca)B.12(abc)C.12(abc)D，12(cab)2.限时 2 分钟，达标是()否()对于空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，点 P 满足OP xOA yOB zOC 是点 P，A，B，C 共面的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3.限时 2 分钟，达标是()否()已知长方体 ABCD-A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为 0 的是()A.AD1 B1CB.BD1 ACC.ABAD1D.BD1 BC 4.限时 2 分钟，达标是()否()已 知 向 量a (0，1,1)，b (
4、4,1,0)，|a b|29，且SymbollA 0，则 3.5.限时 2 分钟，达标是()否()已知 A(1，2,6)，B(1,2，6)，O 为坐标原点，则向量OA 与OB 夹角是_ 6.限时 5 分钟，达标是()否()已知向量 a(1，3,2)，b(2,1,1)，点 A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得OE b？(O 为原点)C 级训练(完成时间：11 分钟)1.限时 5 分钟，达标是()否()如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、D1B1 的中点求：(1)|EF|的值；(2)点
5、 B1(1,1,1)关于 z 轴对称的点的坐标 2.限时 6 分钟，达标是()否()证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条件是：对于空间任一点 O，存在实数 x、y、z 且 xyz1，使得OA xOB yOC zOD.第 6 讲 空间向量的概念及运算【A 级训练】1D 解析：由题意可知 E(1,2,0)，F(0,0,1)，所以EFOF OE(0,0,1)(1,2,0)(1，2,1)2C 解析：A.任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，不正确；B.空间的基底有无数个，不正确；C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底，正确；D.基底a，b，c中基向量与基底e，
6、f，g中基向量不一定相等，不正确3B 解析：由 x22002012 x12032012，得 x30，即 x3.4C 解析：设 a 与 b 的夹角为，ab1，|a|2，|b|1.所以 cos ab|a|b 12122，因为 0，所以 45.5.3 解析：因为 1|b|ba 13(1,1,1)(1,2,2)133 3，则 a 在向量 b 上的投影为 3.6.773 解析：设 P(x，y，z)，所以AP(x1，y2，z1)，PB(1x,3y,4z)，由AP2PB得点 P 坐标为 P(13，83，3)，又 D(1,1,1)，所以|PD|773.7解析：如图，设ABa，AD b，AA1c，则|a|c|2
7、，|b|4，abbcca0.(1)BCED1 b12(ca)b|b|24216.(2)EFFC1 12(ca)12b(12ba)12(abc)(12ba)12|a|214|b|22.【B 级训练】1D 解析：由题意知MN ON OM 12OC 12(OA OB)因为OA a，OB b，OC c，所以 MN12(cab)2D 解析：对于空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，点 P 满足OP xOA yOBzOC，如果点 P，A，B，C 共面，必须有 xyz1，所以有前者推不出后者，后者也得不到前者，所以是既不充分也不必要条件3D 解析：选项 A，当四边形 ADD1A1 为正方形时，可得 A
8、D1A1D，而 A1DB1C，可得 AD1B1C，此时有AD1 B1C 0；选项 B，当四边形 ABCD 为正方形时，可得 ACBD，可得 AC平面 BB1D1D，故有ACBD1，此时有BD1 AC0；选项 C，由长方体的性质可得 AB平面 ADD1A1，可得 ABAD1，此时必有ABAD1 0；选项 D，由长方体的性质可得 BC平面 CDD1C1，可得 BCCD1，BCD1 为直角三角形，BCD1 为直角，故 BC 与 BD1 不可能垂直，即BD1 BC0.43 解析：由题意ab(4,1，)SymbolC 16(1)2229(0)SymbolC 3.5180 解析：OB OA，故夹角为 18
9、0.6解析：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|0252525 2.(2)OE OA AEOA tAB(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若OE b，则OE b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得 t95.因此存在点 E，使得OE b，此时 E 点的坐标为(65，145，25)【C 级训练】1解析：(1)由题意知，B、B1、D1 的坐标分别为 B(1,1,0)、B1(1,1,1)、D1(0,0,1)设 E、F 的坐标分别为 E(x，y，z)、F(a，b，c)，则 x112 1，y112 1，z012 12.a102 12，y102 12，
10、z112 1.所以，|EF|112211221212 32.(2)设所求点的坐标为 B2(m，n，p)可知 D1 是 B1B2 的中点由1m20，得 m1；由n12 0，得 n1；由p12 1，得 p1；即 B1(1,1,1)关于 z 轴对称的点的坐标为(1，1,1)2证明：(必要性)依题意知，B，C，D 三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点 A，B，C，D 共面对空间任一点 O，存在实数 x1，y1，使得OA OB x1BCy1BDOB x1(OC OB)y1(OD OB)(1x1y1)OB x1OC y1OD，取 x1x1y1，yx1，zy1，则有OA xOB yOC zOD，且 xyz1.(充分性)对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 且 xyz1，使得OA xOB yOC zOD.所以 x1yz 得OA(1yz)OB yOC zOD.OA OB yBCzBD，即BAyBCzBD，所以四点 A，B，C，D 共面所以空间任意无三点共线的四点 A，B，C，D 共面的充分必要条件是：对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 且 xyz1，使得OA xOB yOC zOD.
