1、第一章 常用逻辑用语12 充分条件与必要条件12.1 充分条件与必要条件12.2 充要条件第一章 常用逻辑用语考点学习目标核心素养 充分条件、必要条件的概念理解充分条件、必要条件、充要条件的概念数学抽象 充分条件、必要条件的判断结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法逻辑推理 充分条件、必要条件的应用掌握证明充要条件的一般方法逻辑推理问题导学预习教材 P9P11，并思考下列问题：1什么是充分条件？2什么是必要条件？3什么是充要条件？1充分条件与必要条件命题真假“若 p，则 q”是真命题“若 p，则 q”是假命题推出关系p_qp_q 条件关系p 是 q 的_条件q 是 p 的_条件
2、p 不是 q 的_条件q 不是 p 的_条件充分/必要充分必要名师点拨对于“pq”，蕴含以下多种解释：“若 p，则 q”形式的命题为真命题；由条件 p 可以得到结论 q；p 是 q 的充分条件或 q 的充分条件是 p；只要有条件 p，就一定有结论 q，即 p 对于 q 是充分的；q 是 p 的必要条件或 p 的必要条件是 q；为得到结论 q，具备条件 p 就可以推出 显然，“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即 pq，只是说法不同 提醒 不能将“若 p，则 q”与“pq”混为一谈，只有“若p，则 q”为真命题时，才有“pq”，即“pq”“若 p，则 q
3、”为真命题2充要条件如果既有 pq，又有 qp，则可以记作 pq，这时称 p 是 q的_，简称充要条件充分必要条件名师点拨(1)p 是 q 的充要条件意味着“p 成立，则 q 一定成立；p 不成立，则 q 一定不成立”(2)要判断 p 是不是 q 的充要条件，需要进行两次判断：一是看 p 能否推出 q，二是看 q 能否推出 p.若 p 能推出 q，q 也能推出 p，就可以说 p 是 q 的充要条件，否则，就不能说 p 是 q的充要条件(3)对充分条件和必要条件的进一步划分：条件 p 与结论 q 的关系结论 pq，且 q/pp 是 q 的充分不必要条件 qp，且 p/qp 是 q 的必要不充分条
4、件 pq，且 qp，即 pqp 是 q 的充要条件 p/q，且 q/pp 是 q 的既不充分也不必要条件判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x0”是“(2x1)x0”的充分不必要条件()(2)q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件()(3)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题()(4)q 不是 p 的必要条件时，“p/q”成立()设 a，b 是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 D.若 ab0，取 a3，b2，则 ab0 不成立；反之，若 ab0，取 a2，b3，则 a
5、b0 也不成立，因此“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件已知向量 a(x1，2)，b(2，1)，则 ab 的充要条件是 ()Ax12Bx1Cx5Dx0答案：D“log3Mlog3N”是“MN”成立的_条件答案：充分不必要 充分、必要、充要条件的判断 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x1 或 x2，q：x1 x1；(2)p：m0，q：x2xm0 有实根；(3)在ABC 中，p：A60，q：sin A 32；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形【解】(1)因为 x1 或 x2x1 x1，x1 x1x1 或
6、 x2，所以 p 是 q 的充要条件(2)因为 m0方程 x2xm0 的判别式 14m0，即方程有实根，方程 x2xm0 有实根，即 14m0/m0，所以 p 是 q 的充分不必要条件(3)因为在ABC 中，A60/sin A 32(A120时，sin A 32)，在ABC 中，sin A 32 A60，所以 p 是 q 的必要不充分条件(4)因为四边形的对角线相等/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形/四边形的对角线相等，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法 若 pq，q/p，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 p/q，qp，则 p 是 q
7、的必要不充分条件；若 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件；若 p/q，q/p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)集合法 对于集合 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，具体情况如下：若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 AB，则 p 是 q 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件(3)等价法 等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断 1(2018高考天津卷)设xR，则“x1
8、2 12”是“x31”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.由x12 12，得 0 x1，所以 0 x31，可以推出x31；由 x31，得 x1，不能推出 0 x1.所以“x12 12”是“x3y，求证：1x0.【证明】法一：充分性：由 xy0 及 xy，得 xxy yxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x1y0，即yxxy y，所以 yx0.所以1x0.法二：1x1y1x1y0yxxy yyx0，故由yxxy 0.所以1x0.即1x0.充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：一般地，
9、证明“p 成立的充要条件为 q”；充分性：把 q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；必要性：把 p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性 求证：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.证明：充分性：(由 ac0 推证方程有一正根和一负根)因为 ac0，所以方程一定有两个不等实根 设两根为 x1，x2，则 x1x2ca0，所以方程的两根异号 即方程 ax2bxc0 有一正根和一负根
10、 必要性：(由方程有一正根和一负根推证 ac0)因为方程 ax2bxc0 有一正根和一负根，设为 x1，x2，则由根与系数的关系得 x1x2ca0，即 ac0.综上可知，一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.1设集合 M1，2，Na2，则“a1”是“NM”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.当 a1 时，N1，此时 NM；当 NM 时，a21 或 a22，解得 a1 或1 或 2或 2.故“a1”是“NM”的充分不必要条件2“tan 1”是“4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解
11、析：选 B.若 tan 1，则 k4(kZ)，对应集合 Ak4，kZ，而 4对应集合 B4.显然 B是 A 的真子集，所以“tan 1”是“4”的必要不充分条件3(2018高考浙江卷)已知平面，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m.若 m，m，n，不一定推出 mn，直线 m与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件故选 A.4函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1Dm1解析：选 A.当 m2 时，f(x)x22x1，其图象关于直线 x1 对称，反之也成立，所以函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是 m2.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放