1、第5讲数列的综合应用A级训练(完成时间：15分钟)1.已知数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且a6b7，则有()Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10Ca3a9b4b10Da3a9与b4b10的大小关系不确定2.据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟3.(2014广东湛江一模)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2b22，则a5b5()A5 B16C80 D1604
2、.若a、b是两个正数，M是a、b的等差中项，N是a、b的等比中项，则()AMN BMNCMN.N，则MN()0.所以，MN.510解析：因为S2010(a1a20)10(a10a11)0，S2121a110，所以a100，a110，所以n10时，Sn最大62046解析：设第十名到第一名得到的奖金分别是a1，a2，a10，则anSn1，所以a12，anan1an，所以an2an1，则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S102046.7解析：(1)当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1,2,3，可得，A0,1,2,3,4,5,6,7(2)证明：由
3、s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1,2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110.所以，st.【B级训练】1A解析：由题意可得a13，a28，a313，故此等差数列的公差为5，故a4a3d18.2A解析：由题意知，解得.所以直线的斜率为4.3D解析：，解得，所以c2a2b2(ab)22ab41，c，e.4解析：因为a11，an1，所以a2，a32，a41，a5，所以数列an是以3为周期的数列，又S3a1a2a312，所以S2014S2013a2014671(
4、)11.5解析：(1)a13，a23c，a333c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(3c)23(33c)，解得c0或c3.当c0时，a1a2a3，不符合题意舍去，故c3.(2)当n2时，由a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，得ana112(n1)cc，又a13，c3，所以an3n(n1)(n2n2)(n2,3，)当n1时，上式也成立，所以an(n2n2)(nN*)(3)由an2013得(n2n2)2013，即n2n13400因为nN*，所以n36.令n37，得a3720012013，令n38，得a3821122013，所以使an2013成立的最小自然数n38.6解析：(1)当
5、n1时，a2a1S2S12a1a2，当n2时，得a2a12a2，得，a2(a2a1)a2，因为数列an各项为正，所以a20，所以a2a11，联立可得a11，a22，(负值舍去)综上可得，a11.(2)当n2时，(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，两式相减可得(1)an(2)an1，所以anan1，所以an(1)()n1.(3)令bnlog10，则bnlg2，令bn0，则n7，令bn7.所以数列log10的前6项为正，第7项为0，从第8项开始为负，所以数列log10的前6项或第7项的和取得最大值，最大值为lg2.7解析：(1)由题意知a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()b3b
6、28.又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*)，所以，a1a2a3an2()n(n1)故数列bn的通项为bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知cn()(nN*)，所以Sn(nN*)因为c10，c20，c30，c40，当n5时，cn1，而0，得1，所以，当n5时，cn0.综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k4.【C级训练】1解析：(1)a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳
7、法证明加强命题：a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k11.易知f(x)在(，1上为减函数，从而cf(c)f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.2解析：(1)由题得，x3,6(2)由题得，因为anan13an，且数列an是等比数列，a11，所以qn1qn3qn1，所以，所以q，3又因为SnSn13Sn，所以当q1时，n13n对nN*恒成立，满足题意当q1时，3.所以当q，1)时，由单调性可得，解得q，1)当q(1,3时，由单调性可得，解得q(1,2综上，q，2