1、第4讲 平面向量应用举例一、选择题1ABC的三个内角成等差数列，且()0，则ABC一定是()A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形C等边三角形 D钝角三角形解析ABC中BC边的中线又是BC边的高，故ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B.答案C2. 半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则()的值是()A2B1C2D无法确定，与C点位置有关解析 ()22.答案A3. 函数ytanx的部分图象如图所示，则() ()A4 B6C1 D2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，()()()221046.答案B4在ABC中，BAC60，AB2，A
2、C1，E，F为边BC的三等分点，则()A. B. C. D.解析法一依题意，不妨设E，2，则有()，即；2()，即.所以(2)(2)(22225)(222212521cos 60)，选A.法二由BAC60，AB2，AC1可得ACB90，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，(1)(1)1，选A.答案A5如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 B. C2 D.解析(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得.答案B6ABC的外接圆圆心为O，半径为2，0，且|，则在方向上的投影为 ()A1 B2 C. D3解
3、析如图，由题意可设D为BC的中点，由0，得20，即2，A，O，D共线且|2|，又O为ABC的外心，AO为BC的中垂线，|2，|1，|，在方向上的投影为.答案C二、填空题7. ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足0，0，则的最小值为_解析 (x1，y)(1,0)x10，x1，x1，(x，y2)(0,2)2(y2)0，y2.(x，y)(1,2)2yx3.答案 38已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_解析|ab|2|ab|24ab4|a|b|co
4、s40，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.答案9已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，则9x3y的最小值为_解析若ab，则4(x1)2y0，即2xy2.9x3y32x3y226.当且仅当x，y1时取得最小值答案610已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为_解析由题意得：f(x)x2|a|xab必有可变号零点，即|a|24ab0，即4|b|28|b|2cosa，b0，即1cosa，b.所以a与b的夹角范围为.答案三、解答题11已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos ，sin )，O为坐标原点(1) ，求
5、sin 2的值(2)若|，且(，0)，求与的夹角解 (1) (cos ，sin )(2,0)(cos 2，sin )(cos ，sin )(0,2)(cos ，sin 2)cos (cos 2)sin (sin 2)cos22cos sin22sin 12(sin cos ).sin cos ，12sin cos ，sin 21.(2)(2,0)，(cos ，sin )，(2cos ，sin )，|.即44cos cos2sin27.4cos 2，即cos .0，.又(0,2)，cos ，.，.12已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求
6、角的值；(2)若1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .13已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，c(1,0)(1)若x，求向量a与c的夹角；(2)当x时，求函数f(x)2ab1的最大值，并求此时x的值解(1)设a与c
7、夹角为，当x时，a，cos .0，.(2)f(x)2ab12(cos2xsin xcos x)12sin xcos x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin，x，2x，故sin，当2x，即x时，f(x)max1.14已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解(1)mnsin cos cos2 sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A0.cos B，0B，B，0A.，sin.又f(x)sin，f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.