1、海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，且，那么的值可以是 （A） （B） （C） （D）（2）在等比数列中，则=（A）（B） （C） （D）（3）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是（A） （B）开始n=5，k=0n为偶数n=1输出k结束k=k+1是否是否（C） （D）（4）已知向量，若与垂直，则（A） （B） （C）2 （D）4（5）执行如图所示的程序框图，输出的值是（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （6）从甲、乙等5个人中选出3人排
2、成一列，则甲不在排头的排法种数是 （A）12 （B）24 （C）36 （D）48（7）已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）或（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数= . （10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若，则= . （12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则
3、商品价格的取值范围是 . （13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，那么= ，= . （14）已知函数则（）= ；（）给出下列三个命题：函数是偶函数；存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在中，角，的对边分别为，且， 成等差数列.（）若，求的值；（）设，求的最大值. (16)（本小题满分14分）在四棱锥中，/，平面，. （）设平面平面，求证：/； （）求证：平面；（）设点为线段上一点，且直线与平面所成角
4、的正弦值为，求的值 (17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，.（）求直方图中的值；（）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数.（）求的单调区间；（）是否存在实数，使得函数的极大值
5、等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（）证明：;（）求四边形的面积的最大值. (20)（本小题满分14分）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.（）写出和的值，并用列举法写出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（）有多少个集合对（P，Q），满足，且？ 海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 201204一. 选择
6、题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBACBD AB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9） （10） （11） （12） （13）60 （14） 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（）因为成等差数列， 所以. 因为， 所以. 2分 因为， 所以. 5分所以或（舍去）. 6分 （）因为，所以 . 10分 因为， 所以. 所以当，即时，有最大值.13分 (16)（本小题满分14分）（）证明： 因为/，平面，平面，所以/平面. 2分因为平面，平
7、面平面，所以/. 4分（）证明：因为平面，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，. 5分所以 ，所以，.所以 ，. 因为 ，平面，平面，所以 平面. 9分（）解：设（其中），直线与平面所成角为.所以 .所以 .所以 即. 所以 . 11分由（）知平面的一个法向量为.12分因为 ，所以 .解得 .所以 . 14分(17)（本小题满分13分）解：（）由直方图可得：.所以 . 2分（）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：， 4分因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. 6分（）的可能取值为0，1，2，3，4. 7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分
8、钟的概率为，, ,. 所以的分布列为：0123412分.（或）所以的数学期望为1. 13分 (18)（本小题满分13分）解：（）的定义域为. ，即 . 2分令，解得：或. 当时，故的单调递增区间是. 3分当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.5分当时，随的变化情况如下：极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.7分（）当时，的极大值等于. 理由如下： 当时，无极大值.当时，的极大值为， 8分令，即 解得 或（舍）. 9分 当时，的极大值为. 10分因为 ， 所以 .因为 ，所以 的极大值不可能等于. 12分综上所述，当时，的极大值等于
9、.13分 (19)（本小题满分13分）（）解：设椭圆的标准方程为. 因为，所以.所以 . 2分所以 椭圆的标准方程为. 3分（）设，.（）证明：由消去得：.则， 5分所以 .同理 . 7分因为 ,所以 .因为 ，所以 . 9分（）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .因为 ，所以 . 10分所以 .（或）所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. 13分 (20)（本小题满分14分）解：（），. 3分（）根据题意可知：对于集合，若且，则；若且，则.所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，取到最小值4. 8分（）因为 ，所以 .由定义可知：.所以 对任意元素， .所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因为 ，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.14分