1、盐城市伍佑中学2022/2023学年度秋学期高二年级学情调研（一）数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线斜率与倾斜角的关系运算即可得解.【详解】由题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，所以.故选：A.2. 若直线与直线平行，则（ ）A. B. C. 或D. 不存在【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线与直线平行，可得:，解得故选:B.3. 若方程表示圆，则实数m的取值范围
2、为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D4. “”是“直线的斜率不存在”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先求直线斜率不存在时的的值，然后再验证即可得到答案.【详解】直线的斜率不存在，则，解得 “”是“直线的斜率不存在”的充要条件，故选：C5. 已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径求解即可【详解】由题意，圆心到
3、直线的距离，即，解得故选：D6. 与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m4，所以所求圆的方程为.故选：B7. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. 5B. C. 45D. 【答
4、案】B【解析】【分析】先求出点关于直线的对称点，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】因为点关于直线对称点为，所以即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为故选：B8. 已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标，然后求出直线两端点的斜率，画出示意图，写出范围即可.详解】已知直线l：(2+a)x+(a1)y3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0 ，所以直线过点，由题知，在轴上的截距取值范围是，所以直线端点的斜率分别为：，如图：
5、或.故选：D.二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线过点，且与直线：以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则（ ）A. 直线的方程为B. 直线与直线的倾斜角互补C. 直线在轴上的截距为2D. 这样的直线有两条【答案】AB【解析】【分析】由题意可得l与的倾斜角互补，所以可求出直线的方程，然后逐个分析判断【详解】解：因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，故B正确；由直线斜率为，知直线l的斜率为，因为直线过点，所以直线l的方程为，即l的方
6、程为，故A正确；将代入l：得，所以l在y轴上的截距为1，故C错误；过点且斜率为的直线只有一条，故D错误故选：AB10. 若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )A. B. 圆关于直线对称C. 圆与y轴相切D. 的最大值为9【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A：首先根据已知条件写出圆的标准方程，然后化成圆的一般方程即可求解；对于选项B：判断圆心是否在直线上即可判断选项是否正确；对于选项C：利用圆心到轴的距离与半径的大小关系即可判断选项是否正确；对于选项D：利用圆上一点到定点的距离的最大值为圆心到定点的距离与半径之和即可求解.【详解】由题意，以为圆心，4为半径的圆的标准方程为
7、：，化成圆的一般式为：，故A正确；对于选项B：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确；对于选项C：圆心到轴距离，则圆与y轴相交，故C错误；对于选项D：的几何意义为圆上任意一点到点的距离，从而 的最大值为圆心到点距离与半径之和，故的最大值为，故D正确.故选：ABD.11. 下列说法错误的是（ ）A. 若直线与直线互相垂直，则B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 四点不在同一个圆上D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD【解析】【分析】当时，两直线互相垂直，所以选项A不正确；直线，所以的取值范围是；所以选项B正确；由题得,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；截距都
8、相等的直线方程为或，所以选项D不正确.【详解】解：当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；直线的倾斜角，可得，所以的取值范围是；所以B正确；由题得, ，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；故选：ACD12. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则直线恒过定点B. 若，则圆可能过点C. 若，则圆关于直线对称D. 若，则直线与圆相交所得的弦长为2【答案】ACD【解析】【分析】A.验证即可；B. 将点代入求解即可；C. 由直线恒过圆的圆心判断；D.由弦长公式求解判断.【详解】当时，点恒在上，故选项正确；当时，将点
9、代入，得，该方程无解，故选项错误；当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确；当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确.故选：ACD三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 两直线与平行，则它们之间的距离为_.【答案】【解析】【详解】因为直线与平行，得，所以，即，化为由平行直线距离公式.14. 已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x-3y0上，则此圆的方程为_【答案】或【解析】【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】由题意，圆的半径为3与轴相切，且圆心在直线上，设此圆的方程为，则，解得或，所以圆的方程为或.故答案为：或.15. 设集合，
10、若，则实数_【答案】或4#4或-2【解析】【分析】化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.【详解】集合A表示直线，即上的点，但除去点，集合B表示直线上的点，当时，直线与平行或直线过点，所以或，解得或故答案为：或416. 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.【答案】【解析】【分析】先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S，整理判断二次函数何时取最小值即可.【详解】由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，直线l1与y轴的交点为，直
11、线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4，当a时，面积最小.故答案为：.【点睛】本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.四解答题：本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知直线，直线，直线（1）若与的倾斜角互补，求m的值；（2）当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形【答案】（1） （2）0，.【解析】【分析】（1）根据题意得，进而求解得答案；（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案.【小问1详解】解：因为与的倾斜角互补，所以， 直线变形为，故所以，解得【
12、小问2详解】解：由题意，若和垂直可得：，解得，因为当时，构不成三角形，当时，经验证符合题意； 故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；故m的值为：0，.18. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）利用两点式求得边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，根据面积以及点A在直线上列方程组，解方程组求得A点的坐标.【小问1详解】解：由、得边所在直线方程为，即，故边所在直线的方程为.【小问2详解】解：因为A到边所在直线的距离
13、为，又，所以，所以，所以，则或，由于A在直线上，故或，解得或，所以或.19. 已知圆经过点，且_.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.在过直线与直线的交点；圆恒被直线平分；与轴相切.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程.【答案】（1）； （2）切线方程为或【解析】【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可【小问1详解】选，由可得，所以，设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆E的方程为，即选，直线恒过，而圆E恒被直线平分，所
14、以恒过圆心，因为直线过定点，所以圆心为，可设圆的标准方程为，由圆E经过点，得，则圆E的方程为选，设圆E的方程为，由题意可得，解得，则圆E方程为【小问2详解】因为，所以点P在圆E外，若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即由圆E的方程为可得圆心，半径为2，所以圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为；若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为2，满足题意；综上所述，过点的圆E的切线方程为或20. 已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，且圆C过点(1，6)，(5，2).（1）求圆C的标准方程；（2）过点P(3，2)的直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|=6时，求直线l的方程.【答案
15、】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先利用已知点求中垂线，联立直线方程得到圆心坐标，再利用点到圆心的距离计算半径，即得圆的标准方程；（2）先讨论斜率是否存在写出方程，根据弦长、半径与圆心到直线的距离构建关系求出参数，即得结果.【详解】解：（1）过点(1，6)，(5，2)的直线的斜率是，两点的中点是，故其中垂线的斜率是1，中垂线是，即，圆心在直线2x-y-3=0和上，联立方程得圆心，故圆C的标准方程为；（2）若直线l斜率不存在，则直线l：，此时圆心到直线的距离为1，故，|AB|=6，满足题意；若直线l斜率存在，设为k，则直线l：，即，要使弦长|AB|=6，半径为，则圆心到直线的距离为，即，
16、解得，故直线方程是，即.综上，直线l的方程为或.【点睛】求直线被圆截得的弦长的常用方法：（1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且；（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元得到关于x的一元二次方程，由根和系数的关系，利用弦长公式计算弦长.21. 如图，为信号源点，、是三个居民区，已知、都在的正东方向上，在的北偏西45方向上，现要经过点铺设一条总光缆直线（在直线的上方），并从、分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/，设，（），铺设三条分支光缆的总费用为（元）.（1）求关于的函数表达式；（2）求的最小值及
17、此时的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】(1)对直线的斜率是否存在分类讨论，求出三点到直线的距离，铺设三条分光缆的总费用即可求关于的函数表达式；(2)由（1）中的表达式利用换元法，利用基本不等式，可求的最小值及此时的值【详解】(1) 以点位坐标原点，为轴建立直角坐标系,则，当直线的斜率不存在，即时，三点到直线的距离分别为10，20，5所以此时=,当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，,三点到直线的距离分别为:，所以 .所以(2) 当直线的斜率不存在时，=,当直线的斜率存在时，设，当即时，=当即时，.因为当时(当且仅当时取等号)当时, (当且仅当时取等号)所以的最小值为 此时.【点睛
18、】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，属于中档题22. 平面直角坐标系中，圆M经过点，.（1）求圆M的标准方程；（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）（i）7；（ii）在定直线上【解析】【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；（2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；（ii）
19、设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.【小问1详解】解：设圆M的方程为，则，解得，所以圆M的标准方程为；【小问2详解】解：设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，（i）若，则直线斜率不存在，则，则，若，则直线得方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，当且仅当，即时，取等号，综上所述，因为，所以S的最大值为7；（ii）设，联立，消得，则，直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，则，所以，所以点N在定直线上.【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量.