1、24.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第二章 平面向量考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理第二章 平面向量问题导学预习教材 P106P107，并思考下列问题：1平面向量数量积的坐标表示是什么？2如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)数量积两个向量的数量积等于_，即 ab_两个向量垂直ab_它们对应坐标的乘积的和x1x2y1y2x1x2y1y
2、20名师点拨公式 ab|a|b|cosa，b与 abx1x2y1y2 都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导2三个重要公式判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)|AB|的计算公式与 A，B 两点间的距离公式是一致的()答案：(1)(2)已知 a(3，4)，b(5，2)，则 ab 的值是()A23 B7 C23 D7答案：D已知向量 a(1，2)，b(x，2)，若 ab，则 x()A1 B2 C4 D4答案：C已知 a(3，1)，b(3，1)，则向量 a，b 的夹角 _.答案：120向量 a(1，1)，b(1，2)
3、，则(2ab)a()A1B0C1D2数量积的坐标运算【解析】因为 a(1，1)，b(1，2)，所以(2ab)a(1，0)(1，1)1.【答案】C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 1设向量 a(1，2)，向量 b(3，4)，向量 c(3，2)，则向量(a2b)c()A(15，12)B0 C3 D11解析：选 C.依题意可知，a2b(1，2)2(3，4)(5，6)，所以(a2b)c(5，6)(3，2)53623.2已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，点 F 在AD 上，AF 2FD，则BE
4、 CF _解析：建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为AF 2FD，所以 F(43，2)所以BE(2，1)，CF(43，2)(2，0)(23，2)，所以BE CF(2，1)(23，2)2(23)1223.答案：23(1)已知点 A(0，1)，B(1，2)，向量AC(4，1)，则|BC|_(2)(2019山东枣庄三中期中检测)已知平面向量 a(2m1，2)，b(2，3m2)，且|ab|ab|，则 5a3b 在向量 a 方向上的投影为_平面向量的模【解析】(1)设 C(x，y)，因为点 A(0，1)，向量AC(4，1)，所以AC(
5、x，y1)(4，1)，所以x4，y11，解得 x4，y0，所以 C(4，0)，所以BC(3，2)，|BC|94 13.(2)由|ab|ab|得 ab0，所以2(2m1)2(3m2)0，解得 m1，所以 a(1，2)，b(2，1)，5a3b(11，7)，由投影公式可得所求投影为a（5a3b）|a|2555 5.【答案】(1)13(2)5 5求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算 利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算 若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.已知向量 a(cos，sin)，向量 b(3，0)，则
6、|2ab|的最大值和最小值分别是()A4 2，0B4，2 2C25，1D5，1解析：选 D.因为 2ab2(cos，sin)(3，0)(2cos 3，2sin)，所以|2ab|2(2cos 3)2(2sin)21312cos，又 cos 1，1，所以|2ab|21，25，所以|2ab|1，5，故|2ab|的最大值和最小值分别是 5，1，故选 D.已知 a(4，3)，b(1，2)(1)求 a 与 b 夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数 的值平面向量的夹角(垂直)【解】(1)因为 ab4(1)322，|a|42325，|b|（1）222 5，设 a 与 b 的夹角为，所以 cos a
7、b|a|b|25 52 525.(2)因为 ab(4，32)，2ab(7，8)，又(ab)(2ab)，所以 7(4)8(32)0，所以 529.利用数量积求两向量夹角的步骤 1已知向量 a(1，3)，b(3，m)若向量 a，b 的夹角为6，则实数 m()A2 3 B.3C0D 3解析：选 B.因为 a(1，3)，b(3，m)所以|a|2，|b|9m2，ab3 3m，又 a，b 的夹角为6，所以 ab|a|b|cos 6，即 3 3m2 9m2 32，所以3m 9m2，解得 m 3.2已知 A(2，1)，B(6，3)，C(0，5)，则ABC 的形状是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边
8、三角形解析：选 A.由题设知AB(8，4)，AC(2，4)，BC(6，8)，所以AB AC 28(4)40，即AB AC.所以BAC90，故ABC 是直角三角形.规范解答平面向量的夹角和垂直问题(本题满分 12 分)已知三个点 A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值【解】(1)证明：因为 A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，所以AB(1，1)，AD(3，3)(2 分)AB AD 1（3）130，利用数量积为0，证明向量垂直所以AB AD，所以 ABAD.(4 分)(
9、2)因为AB AD，四边形 ABCD 为矩形，所以AB DC.(5 分)设点 C 的坐标为(x，y)，则DC(x1，y4)又因为AB(1，1)，所以x11，y41，解得x0，y5.(7 分)所以点 C 的坐标为(0，5)所以AC(2，4)又BD(4，2)，所以|AC|2 5，|BD|2 5，AC BD 8816.(9 分)正确求出这三个量是求两向量夹角的关键设AC 与BD 的夹角为，则 cos AC BD|AC|BD|162 52 545.(11 分)故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.(12 分)(1)解答两向量的夹角的步骤：求数量积、求模、求余弦值、求角(2)利用 co
10、s ab|a|b|判断 的值时，要注意 cos 0 时，也有两种情况：一是 是锐角，二是 为 0.1已知向量 a(2，0)，ab(3，1)，则下列结论正确的是()Aab2BabCb(ab)D|a|b|解析：选 C.因为向量 a(2，0)，ab(3，1)，设 b(x，y)，则2x3，0y1，解得x1，y1，所以 b(1，1)，ab(1，1)，b(ab)11(1)(1)0，所以 b(ab)2在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则AD AC _解析：由四边形 ABCD 为平行四边形，知AC AB AD(3，1)，故AD AC(2，1)(3，1)5.答案：53已知 a(1，3)，b(2，m)(1)当 3a2b 与 a 垂直时，求 m 的值；(2)当 a 与 b 的夹角为 120时，求 m 的值解：(1)由题意得 3a2b(1，3 32m)，由 3a2b 与 a 垂直，得192 3m0，所以 m4 33.(2)由题意得|a|2，|b|m24，ab2 3m，所以 cos 120 ab|a|b|2 3m2 m2412，整理得 2 3m m240，化简得 m22 3m0，解得 m2 3或 m0(舍去)所以 m2 3.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放