1、北京市海淀区2007-2008学年第一学期期中练习高三数学试题（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2函数的反函数是（ ）ABCD3“”是“”的（ ）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既非充分也非必要条件4下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）ABCD5在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为（ ）ABCD6定义在R上的函数，则（ ）ABCD7给出下列
2、命题：如果函数，那么函数必是偶函数；如果函数对任意的，那么函数是周期函数；如果函数对任意的x1、x2R，且，那么函数在R上是增函数；函数的图象一定不能重合。其中真命题的序号是（ ）ABCD8如果数列满足：首项那么下列说法中正确的是（ ）A该数列的奇数项成等比数列，偶数项，成等差数列B该数列的奇数项成等差数列，偶数项，成等比数列C该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列D该数列的偶数项，分别加4后构成一个公比为2的等比数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9= 。1,3,510已知等差数列中，则= ，公差d = .11若的展开式中第三项是常数项，则
3、n= ，展开式中各项的系数和为 。12在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数共有 个。13若不等式恒成立，则实数a的取值范围为 。14有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下： 在99的九宫格子中，分成9个33的小九宫格，用1到9这9个数填满整个格子；每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少，那么A处应填入的数字为 ；B处应填入的数字为 。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1,3,515（本小题共12分）已知全集 （I）求A、B； （
4、II）求16（本小题共13分）已知函数 （I）求函数的单调递减区间； （II）当的最大值和最小值。17（本大题共13分） 今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起，做成一个无盖的长方体形水箱（按口连接问题不考虑）。 （I）求水箱容积的表达式，并指出函数的定义域； （II）若要使水箱容积不大于立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值。18（本小题共14分） 某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的，已知他每次射击时，命中环数的分列如下表：8910P0.10.50.4 该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击
5、训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止； （I）求该选手在射击训练时恰好射击三次的概率； （II）求该选手训练停止时，射击的次数的分布列及期望。19（本小题共14分） 已知数列 （I）求证：数列为等比数列； （II）求数列的通项公式及前n项和Sn，并求； （III）若数列，求数列的通项公式。20（本小题共14分） 设函数 （I）试判断函数、函数，并说明理由； （II）若函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有 函数； （III）求证：若函数。北京市海淀区2007-2008学年第一学期期中练习高三年级数学试题（理科）参考答案一、选择题：（本大题共8小
6、题，每小题5分，共40分）1A 2D 3B 4B 5C 6C 7B 8D1,3,5二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9 109，2 116，1 1260 13 141，3三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（共12分） 解：（I）由已知得： 解得3分 由 8分 （II）由（I）可得10分 故12分16（共13分） 解：（I）3分 令，4分 解得6分 函数的单调减区间为（0，2）（注：也可以写为）7分 （II）方法1：由（1）可得x1（1，2）2（2，4）4f(x)0+f(x)5312分 13分 方法2：由11分 13分17（共13分
7、） 解：（I）由已知该长方形水箱高为x米，底面矩形长为（22x）米，宽（12x）米。2分 该水箱容积为4分 其中正数x满足 所求函数7分 （II）由 9分 此时底面积为10分 由上是减函数，12分 13分 答：满足条件的x为米。18（共14分） 解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29”的事件记为B。1分 则5分 由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为 P（A+B）=P（A）+P（B）=0.304.7分 即该选手恰好射击了三次的概率为0.304.8分 （II）由（I）的结果可得分布列如下36P0.3040.69611分 13分 即该选手训练停止时射击的次数的期望为5.088.14分19（共14分） 解：（I）由 整理得4分 又由已知是首项为1，公比为2的等比数列。5分 （II）由（I）的结论可得6分 当， 由已知， 9分 10分 （III）由， 由此式可得 把以上各等式相加化简得13分 14分20（共14分） 证明：（I）函数；1分 函数；3分 显然符合条件； 当， 函数4分 （II）函数是定义在R的奇函数，5分 ， 函数函数7分 （III）设 当时， 当， 显然， 在R上恒有函数，14分 说明：其他正确解法按相应步骤给分。
