1、24 平面向量的数量积24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义第二章 平面向量考点学习目标核心素养平面向量数量积的定义理解平面向量数量积的含义数学抽象平面向量数量积的几何意义掌握平面向量数量积的运算公式及其投影的意义数学抽象、直观想象平面向量数量积的运算律及性质掌握平面向量数量积的性质及其运算律数学运算、逻辑推理第二章 平面向量问题导学预习教材 P103P105，并思考下列问题：1怎样定义向量的数量积？2平面向量数量积的几何意义是什么？3向量数量积的性质有哪些？4向量数量积的运算律有哪些？1平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则把数量_叫做 a 与 b 的数量积(
2、或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos.规定零向量与任一向量的数量积为_|a|b|cos 0名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定(2)两个向量的数量积记作 ab，千万不能写成 ab 的形式2向量的数量积的几何意义设两个非零向量 a，b，它们的夹角为.(1)投影的概念向量 b 在 a 的方向上的投影为_；向量 a 在 b 的方向上的投影为_(2)数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与_的乘积|b|cos|a|cos b 在 a 的方向上的投影|b|cos 名师点拨(1)b 在 a
3、方向上的投影为|b|cos(是 a与 b 的夹角)，也可以写成ab|a|.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3向量的数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，为 a 与 b 的夹角(1)ab_(2)当 a 与 b 同向时，ab_；当 a 与 b 反向时，ab_(3)aa_或|a|aa a2.(4)cos ab|a|b|.(5)|ab|_|a|b|.ab0|a|b|a|b|a|2名师点拨对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为 0 即可；若两个非零向量的数量积为 0，则它们互相垂直4向量数量积的运算律(1)ab_(交换
4、律)(2)(a)b_(结合律)(3)(ab)c_(分配律)ba(ab)a(b)acbc名师点拨向量的数量积不满足消去律：若 a，b，c 均为非零向量，且 acbc，但得不到 ab.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍然是向量()(2)若 ab0，则 a0 或 b0.()(3)a，b 共线ab|a|b|.()(4)若 abbc，则一定有 ac.()(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量()答案：(1)(2)(3)(4)(5)若|m|4，|n|6，m 与 n 的夹角为 45，则 mn()A12B12 2C12 2D12答案：B已知|a|1
5、0，|b|12，且(3a)15b 36，则 a 与 b 的夹角为()A60B120C135D150答案：B已知|a|5，向量 a 与 b 的夹角 60，则向量 a 在 b 方向上的投影为_答案：52(1)已知|a|6，|b|4，a 与 b 的夹角为 60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD 中，|AB|4，|AD|3，DAB60，求：AD BC；AB DA.平面向量的数量积运算【解】(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|2 62564cos 60642192.(2)因为AD BC，且方向相同，所以AD 与BC 的夹角
6、是 0，所以AD BC|AD|BC|cos 03319.因为AB 与AD 的夹角为 60，所以AB 与DA 的夹角为 120，所以AB DA|AB|DA|cos 120 4312 6.变设问若本例(2)的条件不变，求AC BD.解：因为AC AB AD，BD AD AB，所以AC BD(AB AD)(AD AB)AD 2AB 29167.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 1(2018高考全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，
7、则 a(2ab)()A4B3C2D0解析：选 B.a(2ab)2a2ab2(1)3，故选 B.2已知|b|3，a 在 b 方向上的投影为32，则 ab()A3 B.92C2 D.12解析：选 B.设 a 与 b 的夹角为，因为|a|cos 32，|b|3，所以 ab|a|b|cos 33292.3已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD _解析：BD CD BD BA(BA BC)BA(BA)2BC BA a2a2 cos 6032a2.答案：32a2(1)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a2b|()A.3 B2 3C4D12(2)向量 a，
8、b 满足|a|1，|ab|32，a 与 b 的夹角为 60，则|b|()A.13B.12C.15D.14向量模的有关计算【解析】(1)|a2b|（a2b）2 a24ab4b2|a|24|a|b|cos 604|b|2 44211242 3.(2)由题意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 6034，即 1|b|2|b|34，解得|b|12.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用 a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2 或|a|a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 已知向量 a，b 满足|a|b|
9、1，|ab|1，则|ab|_解析：法一：由|ab|1 得 a22abb21，所以|a|22ab|b|21，所以 2ab1，所以|ab|a22abb2 111 3.法二：如图，因为|a|b|ab|1，所以AOB 是正三角形，AOB60，所以|ab|2a22abb222ab1，所以 ab12，所以|ab|2a22abb2121213，所以|ab|3.答案：3(1)(2019四川雅安中学检测)已知非零向量 a，b 的夹角是60，|a|b|，a(ab)，则 等于()A.12 B1C.32D2向量的夹角与垂直(2)若 m 与 n 是夹角为3的两个单位向量，则向量 a2mn，b3m2n 的夹角为()A.6
10、B.3C.23D.56【解析】(1)因为 a(ab)，所以 a(ab)0，即 a2ab0.因为非零向量 a，b 的夹角是 60，|a|b|，所以 a2|a|b|cos 60，所以 12.(2)设 a 与 b 的夹角为，因为 ab(2mn)(3m2n)6m2mn2n26cos 3272，|a|2mn|（2mn）244cos 31 7，|b|3m2n|（3m2n）2912cos 34 7，所以 cos ab|a|b|727 712，因为 0，所以 23.【答案】(1)A(2)C求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意：在个别含有|a|，|b|与 ab 的等量关系式中，常利用消元思想计算
11、 cos 的值 1(2019北京东城检测)若向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且 a(ab)，则 a 与 b 的夹角为()A.2 B.23C.34D.56解析：选 C.因为 a(ab)，所以 a(ab)a2ab0.因为|a|1，|b|2，所以 ab|a|21，设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|11 2 22，因为 0，所以 34.2已知 a，b，c 为单位向量，且满足 3ab7c0，a 与 b的夹角为3，则实数 _解析：由 3ab7c0，可得 7c(3ab)，即 49c29a22b26ab，而 a，b，c 为单位向量，则 a2b2c21，则 49926cos 3，即 23
12、400，解得 8 或 5.答案：8 或 51设 e1，e2 是两个单位向量，它们的夹角为 60，则(2e1e2)(3e12e2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e217e1e22e2267cos 60292.答案：922已知|a|3，|b|5，且 ab12，则 a 在 b 方向上的投影为_，b 在 a 方向上的投影为_解析：设 a 与 b 的夹角为，则有 ab|a|b|cos 12，所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos ab|b|125 125；向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|cos ab|a|123 4.答案：125 43已知|a|1，|b|2.(1)若 ab，求 ab；(2)若 a，b 的夹角为 60，求|ab|；(3)若 ab 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角解：设向量 a 与 b 的夹角为.(1)当 a，b 同向，即 0时，ab 2；当 a，b 反向，即 180时，ab 2.(2)|ab|2|a|22ab|b|23 2，|ab|3 2.(3)由(ab)a0，得 a2ab，cos ab|a|b|22，故 45.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放