1、对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数提醒：指数式与对数式的关系2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：loga10；alogaNN；logaabb(a
2、0，且a1)(2)换底公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)(3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1
3、换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad.2对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象不在第二、三象限()答案(1)(2)
4、(3)(4)二、教材习题衍生1(多选)(2020山东临沂期末)若10a4,10b25，则下列结论正确的是()Aab2Bba1Cab8(lg 2)2Dbalg 6ACD由10a4,10b25，得alg 4，blg 25，则ablg 4lg 25lg 1002，balg 25lg 4lg ，又lglg 6，balg 6，ab4lg 2lg 54lg 2lg 48(lg 2)2，故选ACD.2已知a2，blog2，clog，则()AabcBacbCcbaDcabD因为0a1，b0，cloglog231.所以cab.故选D.3函数y的定义域是_由log(2x1)0，得02x11.x1.函数y的定义域是
5、.4函数yloga(4x)1(a0，且a1)的图象恒过点_(3,1)当4x1，即x3时，yloga111.所以函数的图象恒过点(3,1) 考点一对数式的化简与求值 对数运算的一般思路典例1(1)设2a5bm，且2，则m等于()A.B10 C20D100(2)(多选)下列各式或说法中正确的有()Alg(lg 10)0Blg(ln e)0C若10lg x，则x100D若log25x，则x5(3)(2020全国卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊
6、病例数，当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 193)()A60B63 C66D69(1)A(2)AB(3)C(1)由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.故选A.(2)对于A，因为lg 101，lg 10，所以lg(lg 10)lg 10，故A正确；对于B，因为ln e1，lg 10，所以lg(ln e)lg 10，故B正确；对于C，因为10lg x，所以x1010，故C错误；对于D，因为log25x，所以25x，所以x5，故D错误故选AB.(3)由题意可得，当I(t*)0.95K时，0.95K，e0.23(t*53)，
7、ln 190.23(t*53)，t*5313，t*66，故选C.点评：对数运算中logab是常用的性质之一1(2020全国卷)设alog342，则4a()A.B C.DB法一：因为alog342，所以log34a2，则有4a329，所以4a，故选B.法二：因为alog342，所以alog342，所以log34a2，所以4a32，故选B.法三：因为alog342，所以log43，所以43，两边同时平方得4a9，所以4a，故选B.2(2019北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26
8、.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1B10.1 Clg 10.1D1010.1A由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg ，所以lg 10.1，所以1010.1，故选A. 考点二对数函数的图象及其应用 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解典例2(1)(多选)若函数f(x)ax2，g(x)loga|x|，其中a0，且a1
9、，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()A BC D(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()ABC(1，)D(，2)(1)AD(2)B(1)易知g(x)loga|x|为偶函数当0a1时，f(x)ax2单调递减，g(x)loga|x|在(0，)上单调递减，此时A选项符合题意当a1时，f(x)ax2单调递增，g(x)loga|x|在(0，)上单调递增，此时D选项符合题意故选AD.(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知f g，即2loga，则a，所以a的取值范围为.母题变迁1将本例(2)中“4xlo
10、gax”变为“4xlogax有解”，a的取值范围是_若方程4xlogax在上有解，则函数y4x与函数ylogax的图象在上有交点由图象可知解得0a，即a的取值范围为.2若将本例(2)变为：当0x时，logax，则实数a的取值范围为_若logax在x上恒成立，则0a1，且y的图象在ylogax图象的下方，如图所示，由图象知loga，所以解得a1.即实数a的取值范围是.1.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0a1,0c1.2已知不等式x2l
11、ogax0对x恒成立，则实数a的取值范围为_由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)x2在上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是. 考点三对数函数的性质及其应用 比较对数值的大小比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
12、底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较典例31(1)已知alog3 ，b，clog，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDcab(2)(2019天津高考)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab(3)(2020全国卷)设alog32，blog53，c，则()AacbBabcCbcaDcab(1)D(2)A(3)A(1)cloglog35，log35log3log331，即ca1，又01.cab，故选D.(2)alog52log5，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.2，0.50.
13、21，acb，故选A.(3)2332，23，log32log33，ac.3352，35，log53log55，bc，acb，故选A.点评：本例T(1)和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质mlogaam，本例T(2)主要使用中间量比较大小解简单对数不等式求解对数不等式的两种类型及方法类型方法logaxlogab借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论logaxb需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解典例32(1)若loga1(a0且a1)，则实数a的取值范围是_(2)若loga(a21)log
14、a2a0，则a的取值范围是_(1)(1，)(2)(1)当0a1时，logalogaa1，0a；当a1时，logalogaa1，a1.实数a的取值范围是(1，)(2)由题意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，同时2a1，所以a.综上，a.点评：在对数不等式中，真数大于0是隐含条件，不能忘记！与对数函数有关的复合函数的单调性求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论二判判断对数函数的底数与1的关系，分a1与0a1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性典例33(1
15、)(2020新高考全国卷)已知函数f(x)lg(x24x5)在(a，)单调递增，则a的取值范围是()A(，1B(，2C2，)D5，)(2)设函数f(x)log (4x24ax3a)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是_(1)D(2)2,4(1)由x24x50，得x1或x5，即函数f(x)的定义域为(，1)(5，)令tx24x5，则t(x2)29，所以函数t在(，1)上单调递减，在(5，)上单调递增，又函数ylg t在(0，)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，)，由题意知(a，)(5，)，a5，故选D.(2)令t4x24ax3a，由ylogt在(0，)是减函数可得t4x24a
16、x3a在(0,1)上是减函数，且t0在(0,1)上恒成立，又t4x24ax3a42a23a，解得2a4.点评：已知f(x)logag(x)在区间m，n上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据a与1的关系确定g(x)在m，n上的单调性，二是g(x)0在xm，n时恒成立，此时只需g(x)min0即可1已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabcCbcaDcabAalog27log242,1blog38log392，c0.30.21，cba，故选A.2设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)
17、(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)C由题意得或即或即或解得a1或1a0，故选C.3函数ylog (x23x2)的单调递增区间为_，值域为_(，1)R由x23x20得x2或x1，即函数的定义域为x|x2或x1，当x在定义域内变化时，x23x2取遍(0，)内的每一个值，值域为R.令tx23x2(t0)，t在(2，)上单调递增，在(，1)上单调递减，而函数ylogt在其定义域内是单调递减函数，ylog (x23x2)在(，1)上单调递增，在(2，)上单调递减，即函数ylog (x23x2)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(2，)4已知a0，若函数f(x)log3(ax2x)在3,4上是增函数，则a的取值范围是_要使f(x)log3(ax2x)在3,4上单调递增，则yax2x在3,4上单调递增，且在3,4上yax2x0恒成立，即解得a.