1、高考第 18 题(或 19 题)立体几何年 份卷 别考题位置考查内容2017全国卷解答题第18题面面垂直的证明及空间几何体的体积、侧面积2017全国卷解答题第18题线面平行的证明及空间几何体的体积2017全国卷解答题第19题线线垂直的证明及空间几何体的体积2016全国卷解答题第18题线面垂直的应用及空间几何体的体积2016全国卷解答题第19题线线垂直的证明及空间几何体的体积年 份卷 别考题位置考查内容2016全国卷解答题第19题线面平行的证明及空间几何体的体积2015全国卷解答题第18题面面垂直的判定及空间几何体的侧面积2015全国卷解答题第19题空间线面位置关系、几何体的截面、几何体的体积命
2、题规律分析立体几何既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定；以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明、面积和体积计算，多为解答题第二题或第三题，难度中档1(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又因为ABC是正三角形，所以ACBO.因为DOBOO，所以AC平面DOB.又BD平面DOB，故ACBD.(2)已知ACD是直
3、角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解：连接 EO.由(1)及题设知ADC90，所以 DOAO.在 RtAOB 中，BO2AO2AB2.又 ABBD，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知 AEC 为直角三角形，所以 EO12AC.又 ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EO12BD.故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面ABC 的距离的12，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的12，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.2(
4、2016全国卷)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积解：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.因为PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，所以G是AB的中点(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积解：在平面 PAB 内，过
5、点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，点 F即为 E 在平面 PAC 内的正投影理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以EFPA，EFPC.又 PAPCP，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD23CG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PE23PG，DE13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2 2.在等腰直角三角形EFP中
6、，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V131222243.3(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥E-ACD的体积为 63，求该三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.因为BDBEB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)若ABC120，AEEC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积解：设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC 32 x，G
7、BGDx2.因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG 32 x.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE 22 x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD1312ACGDBE 624x3 63，故x2.从而可得AEECED 6.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为32 5.题型一 平行、垂直的证明与空间几何体体积的综合应用学规范(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.2分又BC平面PAD，AD平面PAD，3分所以BC平面PAD.4分防失误处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一
8、条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化学规范(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBC 12 AD及BCAD，ABC90，得四边形ABCM为正方形，则CMAD.6分因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.8分因为CM底面ABCD，所以PMCM.9分防失误处易忽视通过侧面 PAD底面 ABCD 可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高学规范设BCx，则CMx，CD 2x，PM 3x，PCPD2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PN 142 x.10分因为PC
9、D的面积为2 7，所以12 2x 142 x2 7，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2 3.11分所以四棱锥P-ABCD的体积V1322422 34 3.12分处易忽视如何表示PCD的面积，即以CD为底，高如何确定，导致思路不通防失误通技法位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型对点练1(2018届高三湖北七校联考)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上(1)求证：AD平面PBE；(2)若Q是PC的中点，求证：PA平面BDQ；(3)若VP-BCDE2VQ-ABCD，试求CPCQ的值解：(1)证明：由E是AD
10、的中点，PAPD，可得ADPE.又底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD.又因为E是AD的中点，所以ADBE.又PEBEE，所以AD平面PBE.(2)若Q是PC的中点，求证：PA平面BDQ；解：证明：连接AC，交BD于点O，连接OQ.因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)若VP-BCDE2VQ-ABCD，试求CPCQ的值解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，所以VP-BCDE13S四边形BCDEh1，VQ-ABCD13S四边形ABCDh2.又因为VP-BCDE2VQ-ABCD，且S四边形BCDE
11、34S四边形ABCD，所以CPCQh1h283.题型二 平面图形的翻折问题学规范(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.1分又由AECF得AEADCFCD，所以ACEF.2分由此得EFHD，故EFHD，3分所以ACHD4分防失误处易忽视菱形的性质导致失分，注意牢记菱形的平面性质学规范(2)由ACEF，得OHDOAEAD14.5分由AB5，AC6得DOBO AB2AO24.6分所以OH1，HDDH3.7分于是OD2OH2(2 2)2129HD2，故ODOH.8分由(1)知，ACHD，又因为ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.防失误处易忽视数据中隐含着的垂直关系而导致不能判断两
12、直线垂直，注意遇到三角形三边长度都已知时，要充分利用勾股定理学规范因为OHACO，所以OD平面ABC.9分又由EFACDHDO得EF92.10分所以五边形ABCFE的面积S126812923694.11分所以五棱锥D-ABCFE的体积V13694 2 223 22.12分防失误处若不能合理拆分多边形使计算繁琐可能会导致失分，注意求多边形面积一般要进行拆分通技法翻折问题的3个注意点(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特
13、征，进行空间线面关系逻辑推理的基础(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础对点练2(2017合肥模拟)如图，平面五边形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60，CDED7，cosEDC 57.将CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP3，得到四棱锥P-ABCE，如图.(1)求证：AP平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl.证明：(1)在CDE中，CDED 7，cosEDC57，由余弦定理得CE2.连接AC，AE2，AEC60，AC2.又AP 3，在PAE中，PA2AE2PE2，即APAE.同理，APAC.而ACAEA，AC平面ABCE，AE平面ABCE，故AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl.“课下练”见“课时跟踪检测(十八)”(单击进入电子文档)