1、江苏省上冈高级中学春学期高一数学周练习（5） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 下列结论中正确的为( )A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B. 向量AB与向量BA的长度相等C. 对任意向量a，a|a|是一个单位向量D. 零向量没有方向2. 已知向量AB=(2,2)，AC=(t,1)，若ABBC=2，则t=( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 若等边ABC的边长为1，点M满足CM=CB+2CA，则MAMB=( )A. 3B. 2C. 23D. 34. 已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，设AD=a,BE=b，则BC=A. 43a+23b B. 23a+
2、43b C. 23a43b D. 23a+43b5. sin75cos45sin15sin45=()A. 0B. 12C. 32D. 16. 设ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若ABC的三个内角大小满足A:B:C=3:4:5，则S1S2的值为( )A. 2512B. 2524C. 3+32D. 3+347. 在ABC中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若sinBsinC=3sinA，的面积为332，a+b=33，则c=()A. 21B. 3C. 21或3D. 21或38. 海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60，航行4海里到达B处，望见小岛C在北
3、偏东30，若此小船不改变航行的方向继续前行2海里，则小船离小岛C的距离为()A. 12海里B. 23海里C. 16海里D. 43海里二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. ABC中，BC=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有( )A. ABAC为定值B. AC2+AB2=10C. 45cosA1D. BAD的最大值为3010. 已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是( )A. 函数fx的最小正周期为2B. 函数fx的最大值为3C. 函数fx在上单调递增D. 将函数fx的图象向左平移512个单位长度，得到的函数解析式为gx=3cos2x11. 已知a，b，c分别为ABC内角
4、A，B，C的对边，cos2Acos2Bcos2C=cosAcosB+cosCcos2B，且c=3，则下列结论中正确的是( )A. C=3B. C=23C. ABC面积的最大值为34D. ABC面积的最大值为33412. 已知点O在ABC所在的平面内，则()A. 若，则点O是ABC的重心B. 若OAACACABAB=OBBCBCBABA=0，则O为ABC的垂心C. 若OA+OBAB=OB+OCBC=0，则O为ABC的外心D. 若OAOB=OBOC=OCOA，则O为ABC的内心三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A(2,5)，B(10,3)，点P在直线AB上，且PA=13PB，则
5、点P的坐标是14. 在ABC中，若SABC=14(a2+b2c2)，则角C=_15. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120，b=1，且ABC面积为3，则a+bsinA+sinB的值为_16. 设为锐角，若cos+6=45，则sin2+12的值为_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a=(1,0)，b=(1,1)(1)求出向量a+b，3a2b的坐标；(2)求与4ab平行的单位向量的坐标18. 在ABC中，BAC=120，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，设AB=a，AC=b(1)试用a，b表示AD；(2)求ADBC的值19.
6、已知(0,2)，且cos=45()求tan的值；()求sin22+sin2的值20. 化简求值：(1)tan20+tan40+3tan20tan40；(2)sin50(1+3tan10)21. （普通班做，强化班、实验班、直升班不做）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+3sinAcosA32=0(1)求角A的大小；(2)若b=1，c=2，求a21.（普通班不做，强化班、实验班、直升班做）ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足1+tanAtanB=2cb()求A的大小；()若ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B2cosBcosC的取值范围22
7、. （普通班做，强化班、实验班、直升班不做）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，n=(c,1)，且(1)求角C；(2)若边长c=3，求周长的最大值22.（普通班不做，强化班、实验班、直升班做）已知fx=sinx+cosx，gx=2sinx4(1)若y=f2x1+afxgx的图象关于直线x=8对称，求实数a的值；(2)在ABC中，已知cfCgC=acosB+bcosA，c=17，ABC的面积为332，求ABC的周长答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的相关概念，属于基础题根据向量的概念判断各个选项【解答】解：A选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆
8、心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确;B选项，向量AB与向量BA是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确;C选项，当a=0时，a|a|无意义，故C不正确;D选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确故选B2.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题先根据已知条件计算BC，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案【解答】解：根据题意得：BC=ACAB=(t,1)(2,2)=(t2,1)，所以ABBC=2(t2)+2(1)=2t42=2，解得t=4故选B3.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量数量积及加减运算，结合已知和加减运
9、算及数量积运算求解即可，属中档题【解答】解：根据平行四边形法则画出图形，如图，四边形CBMD为平行四边形，CD=2CA，MA=MD+DA，MAMB=(MD+DA)MB=MDMB+DAMB=|MD|MB|cos60+|DA|MB|cos0=1212+121=3故选D4.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量的加减运算，属于基础题由加减运算的法则即可求解【解答】解：设AD与BE交点为F，则FD=13a，BF=23b，所以BD=BF+FD=23b+13a，所以BC=2BD=23a+43b故选B5.【答案】B【解析】解：sin75cos45sin15sin45=cos15cos45sin15sin
10、45=cos(15+45)=12，故选：B由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果本题主要考查利用诱导公式、两角和的余弦公式进行化简三角函数式，属于基础题6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题根据题意，可得A=45，B=60，C=75，可得ABC的面积为S1=12acsinB，外接圆面积为S2=R2，利用正弦定理即可得解【解答】解：在ABC中，ABC的三个内角大小满足A:B:C=3:4:5，A=45，B=60，C=75，S1=12acsinB=12a2sinCsinBsinA=12a2sin75sin60sin4
11、5设ABC外接圆的半径为R，则，故选D7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角形面积公式以及正余弦定理的应用，属于中档题先利用三角形面积公式以及对已知条件角化边可得sinC，再利用同角三角函数的基本关系求得cosC，结合余弦定理求解【解答】解：由SABC=12absinC=332得absinC=33，又sinBsinC=3sinA，由正弦定理得bsinC=3a，即absinC=3a2=33，解得a=3，由a+b=33，得b=23，sinC=32，则cosC=12，当cosC=12时，利用余弦定理12=3+12c212，得c=21，当cosC=12时，利用余弦定理12=3+12c212，
12、得c=3故选D8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解三角形的应用，正余弦定理，属于中档题利用正弦定理计算AC，再利用余弦定理计算距离【解答】解：在ABC中，AB=4，BAC=30，ABC=120，ACB=30，由正弦定理得：ABsinACB=ACsinABC，即412=AC32，解得AC=43，设小船继续航行2海里到达D处，则AD=6，在ACD中，由余弦定理得：CD2=(43)2+62243632=12，CD=23故选B9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，正弦定理，考查了计算能力，属于中档题可画出图形，根据题意可
13、得出2AD=AB+AC，BC=ACAB，两边平方联立方程组即可判断A，B两个选项，由数量积公式判断C选项，由正弦定理即可判断出D选项【解答】解：如图，AD是BC边上的中线，2AD=AB+AC，且AD=2，AB2+2ABAC+AC2=16，BC=ACAB且BC=2AB22ABAC+AC2=4，+得，AC2+AB2=10，即AC2+AB2=10，故B正确得，ABAC=3，故A正确由AC2+AB2=10得出102ACAB，则ACAB5，则ABACcosA=35cosA，所以cosA35.故C错误；在ABD中，由正弦定理得：sinBAD1=sinB212，所以，故BAD的最大值为30，故D正确故选AB
14、D10.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(x+)的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及其应用和辅助角公式，属于中档题利用两角差的正弦函数公式和二倍角公式得f(x)=32sin2x32cos2x，再利用辅助角公式得f(x)=3sin(2x3)，再利用函数y=Asin(x+)的周期性、最值和单调性分别对A、B和C进行判断，再利用函数y=Asin(x+)图象的平移变换对D进行判断，从而得结论【解答】解：因为f(x)=sin(2x6)2sin(x+4)cos(x+4)=32sin2x12cos2xsin(2x+2)=32sin2x12cos2xcos2x=32sin
15、2x32cos2x=3sin(2x3)，所以：对于A.函数f(x)的最小正周期为T=22=，因此A不正确;对于B.当2x3=2+2k(kZ)时，即x=512+k(kZ)，函数f(x)取得最大值3，因此B正确;对于C.由2+2k2x32+2k(kZ)得12+kx512+k(kZ)，令k=0，得函数f(x)的一个单调增区间为12,512，因此C不正确;对于D.将函数f(x)的图象向左平移512个单位长度，得到的函数解析式为：g(x)=3sin2(x+512)3=3sin(2x+2)=3cos2x，因此D正确故选BD11.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，
16、基本不等式求最值，属于中档题由正余弦定理结合已知条件化简得C=23，由三角形的面积公式结合基本不等式计算得面积的最大值【解答】解cos2Acos2Bcos2C=cosAcosB+cosCcos2B，1sin2A1sin2B1sin2C=cosAcosBcosA+B12sin2B，sinAsinB+sin2B+sin2Asin2C=0，由正弦定理可得ab+b2+a2c2=0，cosC=b2+a2c22ab=12，又0C0，+66,2，sin+6=35，sin2+12=sin2(+6)4=sin2+6cos4cos2+6sin4=2sin+6cos+6222cos2(+6)1=23545222(4
17、5)21=122257250=17250故答案为1725017.【答案】解：(1)a=(1,0),b=(1,1)，a+b=(1,0)+(1,1)=(2,1),3a2b=3(1,0)2(1,1)=(1,2)(2)a=(1,0),b=(1,1)，与4ab平行的单位向量e=31010,1010或e=31010,1010【解析】本题主要考查向量的加法运算和单位向量，掌握向量的运算是解答本题的关键(1)直接利用向量的坐标运算即可；(2)先求出4ab的坐标表示及模，即可写出与4ab平行的单位向量18.【答案】解：(1)D是边BC上一点，DC=2BD，BD=13BC，又AB=a，AC=b，BC=ba，AD=
18、AB+BD=AB+13BC=a+13(ba)=23a+13b(2)|a|=|AB|=2，|b|=|AC|=1，BAC=120，ab=|a|b|cosBAC=21cos120=1，因此，ADBC=(23a+13b)(ba)=13b2+13ab23a2=1312+13(1)2322=83【解析】本题考查了平面向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于较易题(1)根据题意得BD=13BC，由向量的减法法则得BC=ba，从而可得AD=AB+BD=AB+13BC=23a+13b；(2)由(1)可得：ADBC=(23a+13b)(ba)=13b2+13ab23a2，根据题意算出ab=1，a2
19、=4且b2=1，代入加以计算即可得到ADBC的值19.【答案】解：()(0,2)，且cos=45，sin=1cos2=35，则tan=sincos=34；()sin=35，cos=45，sin22+sin2=1cos2+2sincos=1452+23545=5350【解析】()由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin，再由商的关系求得tan；()直接利用二倍角的正弦及余弦求解本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式与同角三角函数基本关系式的应用，是基础题20.【答案】解：(1)因为tan60=tan(20+40)=tan20+tan401tan20tan40=3，所以33tan20tan40
20、=tan20+tan40所以tan20+tan40+3tan20tan40=3(2)sin50(1+3tan10)=sin50(cos10+3sin10)cos10=sin502(sin10cos30+cos10sin30)cos10=sin502sin40cos10=sin80cos10=1【解析】本题考查两角和的正切函数公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，二倍角正弦公式，考查计算化简能力，观察能力，是基础题(1)利用两角和的正切函数化简求解即可(2)利用同角三角函数基本关系式化简求解即可21.（普）【答案】解：1因为sin2A+3sinAcosA32=0，所以1cos2A2+32si
21、n2A32=0即，所以，则，因为，所以2b=1，c=2，则a2=b2+c22bccosA=1+411212=3，则a=3【解析】本题考查二倍角公式以及辅助角公式，余弦定理解三角形，难度一般1由sin2A+3sinAcosA32=0，化简得：，求出2由余弦定理：a2=b2+c22bccosA=1+411212=3，求出a=321（强）【答案】解：()由1+tanAtanB=2cb，得1+sinAcosBcosAsinB=sin(A+B)cosAsinB=sinCcosAsinB=2cb=2sinCsinB，因为A，B，C为ABC的内角，所以cosA=12，所以A=3()y=2sin2B2cosB
22、cosC=1cos2B+2cosBcos(B+3)=1cos2B+1+cos2B232sin2B=32sin(2B+6)，又ABC为锐角三角形，所以6B2，所以22B+676，所以sin(2B+6)(12,1),所以所求函数的值域为(12,2)【解析】本题考查正弦定理、三角函数的值域，三角函数的恒等变换，考查转化思想以及计算能力()由正弦定理、商数关系、两角和角公式可得结果；()由倍角公式和辅助角公式把函数化为y=32sin(2B+6)的形式，由ABC为锐角三角形，得6B2，得22B+676，结合正弦函数图象得sin(2B+6)(12,1)，进一步得y(12,2)22.（普）【答案】解：(，由
23、正弦定理得，即2sinCcosCsinA+B=0，在ABC中，0C，C(0,)，C=3；()由余弦定理可得：，即a+b23ab=9，ab=13(a+b)29(a+b2)2，(a+b)236，a+b6，当且仅当a=b=3时取等号，ABC周长的最大值为6+3=9【解析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，平面向量的几何应用，利用基本不等式求最值，两个向量垂直的性质，属于中档题()由可得2ccosC(acosB+bcosA)=0，再根据正弦定理可得cosC的值，根据C的取值范围，即可求出答案；()根据余弦定理可求得，化简即可求得a+b6，当且仅当a=b=3时取等号，求得周长的最大值22.（强）【答
24、案】解：(1)因为g(x)=2sin(x4)=2sinx222cosx22=sinxcosx所以y=f2(x)1+af(x)g(x)=sinx+cosx21+asinx+cosxsinxcosx=1+2sinxcosx1+a(sin2xcos2x)=sin2xacos2x=1+a2sin(2x)，其中tan=a，由题意得：28=2+k，kZ，解得=4，即a=1(2)因为cfCgC=acosB+bcosA，所以，即c2cosC=acosB+bcosA，即sinC2cosC=sinAcosB+sinBcosA，即sinC2cosC=sin(A+B)=sinC，又sinC0，所以cosC=12，所以sinC=32;由余弦定理得，17=a2+b2ab，又S=12absinC=332，所以ab=6，由解得a+b=35，则周长C=a+b+c=35+17【解析】本题主要考查三角函数的化简，同角三角函数基本关系式，二倍角公式及辅助角公式的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题(1)先化简函数得y=1+a2sin2x再根据题意得28=2+k，kZ，解得=4，即a=1；(2)将已知条件化简得cosC=12，由余弦定理得到17=a2+b2ab，由三角形面积公式得ab=6进而得a+b=35，即可得周长