1、22.3 向量数乘运算及其几何意义第二章 平面向量考点学习目标核心素养向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理第二章 平面向量问题导学预习教材 P87P90，并思考下列问题：1向量数乘的定义及其几何意义是什么？2向量数乘运算满足哪三条运算律？3向量共线定理是怎样表述的？4向量的线性运算是指的哪三种运算？1向量的数乘的定义一般地，规定实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算叫做向量的数乘，它的长度和方向有如下规定：(1)|a|_(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向_；当 0
2、时，a 的方向与 a 的方向_；当 0 时，a_向量|a|相同相反0名师点拨 是实数，a 是向量，它们的积 a 仍然是向量实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 a，a 均没有意义2向量数乘的运算律设，为实数，那么：(1)(a)_(2)()a_(3)(ab)_()aaaab3向量共线定理以及向量的线性运算(1)向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使_(2)向量的加、减、数乘运算统称为向量的_对于任意向量 a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)_ba线性运算1a2b名师点拨若将定理中的条件 a0 去掉，即当 a0 时，显然 a 与 b 共线(1)若 b0，则不存在实数，
3、使 ba.(2)若 b0，则对任意实数，都有 ba.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数 与向量 a 的积还是向量()(2)3a 与 a 的方向相同，3a 与 a 的方向相反()(3)若 mamb，则 ab.()(4)向量共线定理中，条件 a0 可以去掉()答案：(1)(2)(3)(4)4(ab)3(ab)b 等于()Aa2b BaCa6b Da8b答案：D若|a|1，|b|2，且 a 与 b 方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2aBb2aCa2bDa2b答案：A在四边形 ABCD 中，若AB 12CD，则此四边形的形状是_答案：梯形(1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4b
4、c)2(3a2bc)；23（4a3b）13b14（6a7b）.(2)设向量 a3i2j，b2ij，求13ab a23b(2ba)向量的线性运算【解】(1)原式4a4b3a3b8a 7a7b.原式5a4bc6a4b2c ac.原式234a3b13b32a74b 2352a1112b 53a1118b.(2)原式13aba23b2ba 1311 a1232 b 53a53b53(3i2j)53(2ij)5103 i103 53 j 53i5j.向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积
5、中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 1化简25(ab)13(2a4b)215(2a13b)_解析：原式25a25b23a43b 415a2615b(2523 415)a(25432615)b0a0b000.答案：02若 2x13a 12(bc3x)b0，其中 a，b，c 为已知向量，求未知向量 x.解：因为 2x23a12b12c32xb0，所以72x23a12b12c0，所以72x23a12b12c，所以 x 42
6、1a17b17c.已知非零向量 e1，e2 不共线(1)如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值向量共线定理及应用【解】(1)证明：因为AB e1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB.所以AB，BD 共线，且有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线(2)因为 ke1e2 与 e1ke2 共线，所以存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，所以 k1.向量共线定理的应用(1)若
7、 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若AB AC，则AB 与AC 共线，又AB 与AC 有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法 已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab与(b3a)共线，则 _解析：由题意知存在 kR，使得 abk(b3a)，所以k，13k，解得k13，13.答案：13 如图，ABCD 是一个梯形，AB CD 且|AB|2|CD|，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已知AB e1，AD e2，试用 e1，e2表示下列向量(1)
8、AC _；(2)MN _用已知向量表示其他向量【解析】因为AB CD，|AB|2|CD|，所以AB 2DC，DC 12AB.(1)AC AD DC e212e1.(2)MN MD DA AN 12DC AD 12AB 14e1e212e114e1e2.【答案】(1)e212e1(2)14e1e2变条件在本例中，若条件改为BC e1，AD e2，试用 e1，e2表示向量MN.解：因为MN MD DA AN，MN MC CB BN，所以 2MN(MD MC)DA CB(AN BN)又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点，所以MD MC 0，AN BN 0.所以 2MN DA CB，所以MN 1
9、2(AD BC)12e212e1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，那么EF()A.12AB 12ADB12AB 12ADC12AB 12ADD.12AB 12AD解析：选 D.EF EC CF 12AB 12AD.1.1312（2a8b）（4a2b）等于()A2ab B2baCbaDab解析：选 B.原式16(2a8b)13(4a2b)13a43b43a23ba2b.2若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB 2e1，BC 3e2，则32e2e1()A.BOB.AOC.COD.DO解析：选 A.BD AD AB BC AB 3e22e1，BO 12BD 32e2e1.3已知 e1，e2 是两个不共线的向量，若AB 2e18e2，CB e13e2，CD 2e1e2，求证 A，B，D 三点共线证明：因为CB e13e2，CD 2e1e2，所以BD CD CB e14e2.又AB 2e18e22(e14e2)，所以AB 2BD，所以AB 与BD 共线 因为 AB 与 BD 有交点 B，所以 A，B，D 三点共线本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放