1、北京101中学20182019学年下学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若，则（ ）A. B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】【分析】直接利用复数模的公式求解即可.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查复数模的公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.2.下列四个函数：；，其中在处取得极值的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别判断四个函数单调性，结合单调性，利用极值的定义可判断在处是否取得极值.【详解】因为函数与函数都在上递增，所以函数与函数都没有极值，不
2、合题意；函数与函数都在上递减，在上递增，所以函数与函数都在处取得极小值，符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与极值，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.3.在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果.【详解】直线的直角坐标方程为，即，化为，直角坐标方程为，圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，被圆截得的弦长为，故选C.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长
3、有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.4.已知函数，则（ ）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出导函数，由，可得，从而可得结果.【详解】，又因为，所以，解得，故选B.【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】由图可知，在两边左正右负，在两边左正右负，从而可得结果.【详解】由函数的导函数的图象可知，函数在区间、上递增；在区
4、间、上递减，两边左正右负，在两边左正右负，所以是函数的极大值点，则的极大值点共有2个，故选B.【点睛】本题主要考查导函数的图象与函数性质的关系，考查了函数极值的定义，意在考查对基本概念的掌握与灵活应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.6.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数的导数,再利用,解即可.【详解】因,因为处切线斜率为1,所以,解得,故选D.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于基础题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知
5、斜率求参数或切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.7.已知函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用导数判断函数在递减，由，利用单调性可得结果.【详解】的定义域是，故在递减，而，即，故选A【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及根据单调性比较大小，是一道基础题8.已知实数满足，则的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】的最小值表示曲线与直线平行的切线与直线的距离，利用导数的几何意义，结合两平行线的距离公式可得结果.【详解】分别设，则表示曲线上的点到直线的距离，的最小值表示曲线与直线平行
6、的切线与直线的距离，因为，所以，设与直线平行的切线切点横坐标为，则，解得，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以直线与直线的距离为，所以的最小值为，的最小值为2，故选C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、两平行线的距离公式以及转化思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将转化为两平行线的距离是解题的关键.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间【详解】，其中，令，则，故函数的单调减区间为，填【点睛】一般地，若在区间上可导
7、，且，则在上为单调减函数；反之，若在区间上可导且为减函数，则注意求单调区间前先确定函数的定义域10.复数z=为虚数单位）的共轭复数是_.【答案】【解析】【分析】先由复数的除法运算化简，再根据共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以，其共轭复数为.故答案为【点睛】本题主要考查复数的除法运算，以及共轭复数，熟记除法运算法则，与共轭复数的概念，即可求解，属于常考题型.11.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】 ，切线方程为 即点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
8、12.若复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据复数乘法的运算法则化简，再根据复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上列方程求解即可.【详解】因为， 且复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，所以，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则以及复数的几何意义，属于基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13.已知圆的参数方程为（为参数）,则圆的
9、面积为_;圆心到直线的距离为_.【答案】；.【解析】【分析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再由点到直线的距离公式求圆心C到直线l：3x4y0的距离【详解】由圆C，可得（x2）2+y21，圆C的圆心坐标为（2，0），半径为1，则圆C的面积为12；圆心C（2，0）到直线l：3x4y0的距离为d故答案：；【点睛】本题考查圆的参数方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题14.若函数是实数集上的单调函数，则函数在区间上的最大值与最小值的和的最小值为_.【答案】【解析】分析】求出导数，分类讨论可得函数是实数集上的单调递增函数，由恒成立，可得，从而可得函数在区间上的最大
10、值与最小值的和为，进而可得结果.【详解】因为，所以，若函数是实数集上的单调递减函数，则恒成立，不合题意；若函数是实数集上的单调递增函数，则恒成立，此时，函数在区间上递增，所以的最大值为，的最小值为，函数在区间上的最大值与最小值的和为，因为，所以，即函数在区间上的最大值与最小值的和的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、已知单调性求参数以及利用单调性求函数的最值，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.三、解答题共4小题，共50分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（
11、2）的单调递增区间为；单调递减区间为.【解析】【分析】（1）求出,由的值，可得切线斜率，求出的值可得切点坐标，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；【详解】（1），得，,则曲线在点处的切线为，化为.（2）由题可知：，由（1）知， ，令=0，得或.列表如下：23+00+极大值 极小值 故的单调递增区间为；单调递减区间为.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切
12、线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导数，解方程求出函数定义域内的所有根，判断所求根的左右导函数的符号，从而可得结果；（2）当时，恒成立，等价于时恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得的最大值，从而可得结果.【详解】（1）当时，,令，得.（，1）1（1，ln2）ln2（ln2，+）+00+极大值 极小值 所以，极大值=； 极大值（2）当时，恒成立，,等价于当时，即，因为，所以，令=，=,（2，1）1（1，0）+0极大值则，因此，即.【点睛】本题主要考查利
13、用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.17.已知函数.（1）判断的单调性；（2）求函数的零点的个数；（3）令，若函数在内有极值，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增;（2）2；（3）【解析】试题分析：（）判断零点的个数问题，一般利用函数的单调性，然后判断极大值、极小值的正负情况，从而判断出个数；当在给定区间上单调递增或单调递减时，常利用零点的存在性定理判断有无零点，此时最多一个（）
14、函数在某区间上有极值即导数等于零在区间上存在变号零点，从而转化为方程有解问题或函数图像与x轴的交点问题试题解析：（），为的一个零点当时，设，在单调递增又，故在内有唯一零点因此在有且仅有2个零点（）定义域是则设，要使函数在内有极值，则有两个不同的根，得或，且一根在，不妨设，又，由于，则只需，即解得考点：函数零点个数的判断问题；由函数有极值作为条件求参数范围【方法点睛】对于函数在某区间内有极值求参数范围题目，首先应做好等价转化，如本题转化为有两不等根接下来有两种思路：（1）把参数移到一边转化为形如的形式，则问题等价于直线与曲线有两个交点，利用数形结合去求解；（2）不移项，利用一元二次方程根的分布去
15、求解，但当不是一元二次函数时，问题复杂，可能要讨论18.已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【答案】(1)详见解析 (2)【解析】试题分析:(1)首先对函数求导并化简得到导函数,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分和得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数的可行域内,把关于的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时,则函数在区间单调递减,在单调递增的.(2)解:(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时,则函数在区间单调递减,在单调递增的.(2)函数的定义域为,由(1)可得当时,则,即,则为函数的两个极值点,代入可得=令,令,由知: 当时, 当时,当时,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即不符合题意.当时,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即恒成立,综上的取值范围为.考点：导数 含参二次不等式 对数 单调性【此处有视频，请去附件查看】