1、22 平面向量的线性运算22.1 向量加法运算及其几何意义第二章 平面向量考点学习目标核心素养平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象第二章 平面向量问题导学预习教材 P80P83，并思考下列问题：1在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2向量加法的运算律有哪两条？1向量加法的定义及运算法则定义求_的运算，叫做向量的加法 法则三角形法则前提已知非零向量 a，b作法
2、在平面内任取一点 A，作AB a，BC b，再作向量AC 两个向量和法则三角形法则结论向量AC 叫做 a 与 b 的和，记作 ab，即 ab_图形 AB BCAC法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量 a，b作法在平面内任取一点 O，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB结论对角线OC 就是 a 与 b 的和 图形 规定零向量与任一向量 a 的和都有 a0_0aa名师点拨(1)两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向
3、量与两向量起点相同2向量加法的运算律交换律ab_ 结合律(ab)c_baa(bc)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线()答案：(1)(2)(3)已知非零向量 a，b，c，则向量(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ba)，c(ab)中，与向量 abc 相等的个数为()A2 B3C4D5答案：D如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB a，AD b，则AC BA()Aa BbC0Dab答案：B在正方形 ABCD 中，|AB|1，则|AB AD|_答案：2 如
4、图，已知向量 a，b，c，求作和向量 abc.平面向量加法及其几何意义【解】法一：可先作 ac，再作(ac)b，即 abc.如图，首先在平面内任取一点 O，作向量OA a，接着作向量AB c，则得向量OB ac，然后作向量BC b，则向量OC abc 为所求 法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，(1)在平面内任取一点 O，作OA a，OB b；(2)作平行四边形 AOBC，则OC ab；(3)再作向量OD c；(4)作平行四边形 CODE，则OE OC cabc.OE 即为所求(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
5、以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点；以这两个已知向量为邻边作平行四边形；平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和 如图，已知向量 a，b，求作向量 ab.解：(1)作OA a，AB b，则OB ab，如图(1)(2)作OA a，AB b，则OB ab，如图(2)(3)作OA a，AB b，则OB ab，如图(3)化简：(1)BC AB；(2)DB CD BC；(3)AB DF CD BC FA.平面向量的加法运算【解】(1)BC AB AB BC AC.(2)D
6、B CD BC BC CD DB (BC CD)DB BD DB 0.(3)AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC CD DF FA AD DF FAAF FA0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简 1下列等式不正确的是()a(bc)(ac)b；AB BA 0；AC DC AB BD.A B C D解析：选 B.由向量的加法运算律知正确；因为AB BA 0，故不正确；DC AB BD AB BD D
7、C AC 成立，故正确2.如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB；(2)EG CG DA EB.解：(1)DG EA CB GC BE CB GC CB BE GB BE GE.(2)EG CG DA EB EG GD DA AE ED DA AEEA AE 0.向量加法的实际应用 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/小时，他在水流速度为 4 千米/小时的河中游泳若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】如图，设此人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB 为邻边作OACB
8、，则此人的实际速度为OA OB OC.由勾股定理知|OC|8，且在 RtACO 中，COA60，故此人沿与河岸成 60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8 千米/小时应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从 A地按北偏东 35的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55的方向飞行 800 km 送往 C
9、地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解：设AB，BC 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35的方向飞行800 km，从 B 地按南偏东 55的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB|BC|；两次飞行的位移的和指的是AB BC AC.依题意有|AB|BC|8008001 600(km)，又 35，55，ABC355590，所以|AC|AB|2|BC|2 80028002800 2(km)，其中BAC45，所以方向为北偏东 354580，从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 8002 km，方向为北偏东 80.1化简OP PQ PSSP的结果等于()A
10、.QP B.OQC.SPD.SQ解析：选 B.OP PQ PSSPOQ 0OQ.2在四边形 ABCD 中，AC AB AD，则一定有()A四边形 ABCD 是矩形B四边形 ABCD 是菱形C四边形 ABCD 是正方形D四边形 ABCD 是平行四边形解析：选 D.由AC AB AD 得AD BC，即 ADBC，且ADBC，所以四边形 ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形3.已知ABCD，O 是两条对角线的交点，E 是 CD 的一个三等分点(靠近 D 点)，求作：(1)AO AC；(2)DE BA.解：(1)延长 AC，在延长线上截取 CFAO，则向量AF 即为所求(2)在 AB 上取点 G，使 AG13AB，则向量BG 即为所求本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放