1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）填空题 （2009高考(江苏)）函数的单调减区间为_.【答案】【答案】；【解析】，由得单调减区间为。 （苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-，+)总是不单调则a的取值范围是_【答案】 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）分别在曲线与直线上各取一点与,则的最小值为_.【答案】 （南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）关于的不等式对任意恒成立,则实数的值为_.【答案】 （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检
2、测高三数学试题）已知函数()在区间上取得最小值4,则_. 【答案】 （苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知f(x)x3，g(x)x2xa，若存在x01，(a0)，使得f(x0)g(x0)，则实数a的取值范围是 【答案】(0，)解答题 （2010年高考（江苏）设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质.(1)设函数,其中为实数求证:函数具有性质求函数的单调区间(2)已知函数具有性质,给定,且,若|0 0 x函数的单调增区间为 (3)=2x+lnx 设过点(2,5)与曲线g (x)的切线的切点坐标为 即 令h(x)= =0 h(x
3、)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增 又,h(2)=ln2-10, h(x)与x轴有两个交点 过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线. （江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知实数,函数满足,设的导函数为,满足.(1)求的取值范围;(2)设为常数,且,已知函数的两个极值点为,求证:直线的斜率.【答案】 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数,.若函数在其定义域内是单调增函数,求的取值范围;设函数的图象被点分成的两部分为(点除外),该函数图象在点处的切线为,且分别完全位于直线的两侧,试求所有满足条件的的值.【答案】, 只需要,即
4、, 所以 因为. 所以切线的方程为. 令,则. 若,则, 当时,;当时, 所以,在直线同侧,不合题意; 若, 若,是单调增函数, 当时,;当时,符合题意; 若,当时, 当时,不合题意; 若,当时, 当时,不合题意; 若,当时, 当时,不合题意. 故只有符合题意 （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数,对一切正整数,数列定义如下:,且,前项和为.(1)求函数的单调区间,并求值域;(2)证明;(3)对一切正整数,证明: ;.【答案】解:(1)定义域R, , , 函数的单调增区间为,单调减区间为 (法一),当时, , 时,为减函数,; 当时, ;函数的值域为 (法二)当时,当时,且,
5、函数的值域为 (法三)判别式法(略) (2)设, 设,则,则, 当时, 恒成立. 当且仅当时, 令,当且仅当时, 当时,由(1), 当时,无解 当时, , 当时,在无解 综上,除外,方程无解, (3) 显然,又, , 所以, 若,则 矛盾.所以 (法一) (法二) , 【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景,考查函数的图象与性质、导数的运算与应用;考查函数思想;考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明. 如令,可证明对任意正整数有互素. （2013江苏高考数学）本小题满分16分.设函数,其中为实数.(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取
6、值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.【答案】本题主要考察导数的运算及利用导数研究函数的性质,考察函数.方程.不等式的相互转化,考察综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力. (1)解:由即对恒成立, 而由知1 由令则 当时时0, 在上有最小值 1 综上所述:的取值范围为 (2)证明:在上是单调增函数 即对恒成立, 而当时, 分三种情况: ()当时, 0 f(x)在上为单调增函数 f(x)存在唯一零点 ()当0 f(x)在上为单调增函数 0 f(x)存在唯一零点 ()当0时,令得 当00;时,0时,0,有两个零点 实际上,对于0,由于0 且函数在上的图像不间
7、断 函数在上有存在零点 另外,当,0,故在上单调增,在只有一个零点 下面考虑在的情况,先证时,设 ,则,再设 当1时,-20,在上是单调增函数 故当2时,0 从而在上是单调增函数,进而当时,0 即当时, 当0e时,0 且函数在上的图像不间断, 函数在上有存在零点,又当时,0故在上是单调减函数函数在只有一个零点 综合()()()知:当时,的零点个数为1;当0时,的零点个数为2 （江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）已知函数,(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调区间; (3)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围.【答案】解:(1)函数的定义域为且关于坐标原点对称 为偶函数
8、 (2)当时, 令 令 所以可知:当时,单调递减,当时,单调递增, 又因为是偶函数,所以在对称区间上单调性相反,所以可得: 当时,单调递增,当时,单调递减, 综上可得: 的递增区间是:,; 的递减区间是: , (3)由,即,显然, 可得: 令,当时, 显然,当时,单调递减, 当时,单调递增, 时, 又,所以可得为奇函数,所以图像关于坐标原点对称 所以可得:当时, 的值域为 的取值范围是 （江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数.()若曲线在点处的切线与x轴平行,求a的值;()求函数的极值. 【答案】解析:(1). 因为曲线在点处的切线与x轴平行, 所以 ,即 所以 (2
9、),令,则或 当,即时, 函数在上为增函数,函数无极值点; 当,即时.x+0-0+极大值极小值所以 当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是; 11分 当,即时.+0-0+极大值极小值所以 当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是 综上所述,当时函数无极值; 当时,当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是;当时,当时,函数有极大值是,当时,函数有极小值是 （江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理）设函数是自然对数的底数).(1)判断函数零点的个数,并说明理由;(2)设数列满足:;求证:;比较a与的大小,【答案】解: (1),令=0, 当时,0,在单调递增 故 令t=
10、e-11,函数,因为0时,若在【0,2】的最大值为h(a),求h(a)的表达式.【答案】解(1)当时,解得或 (2)由得,令,则 ,当时, 当时,此时递增;当时,此时递减;所以, 又因为,所以当时,恰好有两个相异的实根实数的取值范围为 （江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）设函数,其中.证明:当时,函数没有极值点;当时,函数有且只有一个极值点,并求出极值.【答案】证明:因为,所以的定义域为. . 当时,如果在上单调递增; 如果在上单调递减. 所以当,函数没有极值点. 当时, 令,得(舍去), 当时,随的变化情况如下表:0极小值从上表可看出, 函数有且只有一个极小值点,极小值为.
11、 当时,随的变化情况如下表:0极大值从上表可看出, 函数有且只有一个极大值点,极大值为. 综上所述, 当时,函数没有极值点; 当时, 若时,函数有且只有一个极小值点,极小值为. 若时,函数有且只有一个极大值点,极大值为. （南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知函数,(其中),设.()当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值;()当时,若存在,使成立,试求的范围. 【答案】解:(), , 设是的两根,则,在定义域内至多有一解, 欲使在定义域内有极值,只需在内有解,且的值在根的左右两侧异号,得 综上:当时在定义域内有且仅有一个极值,当时在定义域内无极
12、值 ()存在,使成立等价于的最大值大于0 , 得. 当时,得; 当时,得 当时,不成立 当时,得; 当时,得; 综上得:或 （江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）(本小题满分16分)已知函数,.求函数的单调区间;记函数,当时,在上有且只有一个极值点,求实 数的取值范围;记函数,证明:存在一条过原点的直线与的图象有两个切点.【答案】(1)因为, 若,则,在上为增函数, 若,令,得, 当时,;当时,. 所以为单调减区间,为单调增区间. 综上可得,当时,为单调增区间, 当时,为单调减区间, 为单调增区间 (2)时, , 在上有且只有一个极值点,即在上有且只有一个根且不为重根, 由得, (i)
13、,满足题意; (ii)时,即; (iii)时,得,故; 综上得:在上有且只有一个极值点时, 注:本题也可分离变量求得. (3)证明:由(1)可知: (i)若,则,在上为单调增函数, 所以直线与 的图象不可能有两个切点,不合题意 ()若,在处取得极值. 若,时,由图象知不可能有两个切点 故,设图象与轴的两个交点的横坐标为(不妨设), 则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点. , 设切点分别为,则,且 , 即, , , -得:, 由中的代入上式可得:, 即, 14分 令,则,令,因为, 故存在,使得, 即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点 （江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考
14、试数学（理）试题）已知函数, ,().(1)求函数的极值;(2)已知,函数, ,判断并证明的单调性;(3)设,试比较与,并加以证明.【答案】解:(1),令,得. 当时,是减函数; 当时,是增函数. 当时,有极小值,无极大值 (2) =, 由(1)知在上是增函数, 当时, 即,来源:Zxxk.Com ,即在上是增函数 (3),由(2)知,在上是增函数, 则, 令得, （江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知函数f(x)=(x-a),a,b为常数,(1)若a ,求证:函数f(x)存在极大值和极小值(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的分别为,令点A )
15、,B ),如果直线AB的斜率为,求函数f(x)和的公共递减区间的长度(3)若对于一切恒成立,求实数m,a,b满足的条件20122013学年度第一学期期末考【答案】(1) 有两不等 b和 f(x)存在极大值和极小值 (2)若a=b,f(x)不存在减区间 若ab时由(1)知x1=b,x2= A(b,0)B 当ab时 x1=,x2=b. 同理可得a-b=(舍) 综上a-b= 的减区间为即(b,b+1),(x)减区间为 公共减区间为(b,b+)长度为 (3) 若,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零
16、点左右的符号不同,因此不可能恒非负. 若a+2b=0,=0, 若 则 , b=0则a0, b0 且b0 综上 （连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数,其中R.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对任意的x1,x2-1,1,都有,求实数的取值范围; (3)求函数的零点个数.【答案】解:(1) f (x)=x2-2mx-1, 由f (x)0,得xm-,或x m+; 故函数的单调增区间为(-,m-),(m+,+), 减区间(m-, m+) (2) “对任意的x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|4”等价于“函数y=f (x),x-1,1的最大值与
17、最小值的差小于等于4”. 对于f (x)=x2-2mx-1,对称轴x=m. 当m1时, f (x)的最大值为f (-1),最小值为f (1),由 f (-1)-f (1)4,即4m4,解得m1,舍去; 综上,实数m的取值范围是-1,1 (3)由f (x)=0,得x2-2mx-1=0, 因为=4m2+40,所以y=f(x)既有极大值也有极小值. 设f (x0)=0,即x02-2mx0-1=0, 则f (x0)=x03-mx02-x0+m=-mx02-x0+m=-x0(m2+1) 所以极大值f(m-)=-(m-)(m2+1)0, 极小值f(m+)=-(m+)(m2+1)0时,若曲线y=f(x)在点
18、P(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求实数m的值.【答案】解(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx,所以f(x)=-2+= (x0) 由f(x)0得x(0,) . 所以函数f(x)的单调增区间为(0,) (2)由f(x)=mx-m-2+,得f(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2 由题意得,关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解,即关于x的方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个解. 令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx(x0).则g(x)=m(x-1)-1+=(x0) 当0m0得0x,由g(x)0得
19、1x,所以函数g(x)在(0,1)为增函数,在(1,)上为减函数,在(,+)上为增函数.又g(1)=0,且当x时,g(x),此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点.故0m1时,由g(x)0得0x1,由g(x)0得x1不合题意.综上,实数m的值为m=1 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得
20、恒成立,试判断是否为“2阶负函数”?并说明理由.【答案】 解:(1)依题意,在上单调递增, 故 恒成立,得, 因为,所以 而当时,显然在恒成立, 所以 (2)先证: 若不存在正实数,使得,则恒成立 假设存在正实数,使得,则有, 由题意,当时,可得在上单调递增, 当时,恒成立,即恒成立, 故必存在,使得(其中为任意常数), 这与恒成立(即有上界)矛盾,故假设不成立, 所以当时,即; 再证无解: 假设存在正实数,使得, 则对于任意,有,即有, 这与矛盾,故假设不成立, 所以无解, 综上得,即, 故所有满足题设的都是“2阶负函数” （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）
21、已知函数(1)求函数在点处的切线方程;(2)求函数单调区间;(3)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.【答案】因为函数, 所以, 又因为,所以函数在点处的切线方程为 由,. 因为当时,总有在上是增函数, 又,所以不等式的解集为, 故函数的单调增区间为 因为存在,使得成立, 而当时, 所以只要即可 又因为,的变化情况如下表所示:减函数极小值增函数所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值. 因为, 令,因为, 所以在上是增函数. 而,故当时,即; 当时,即 所以,当时,即,函数在上是增函数,解得;当时,即,函数在上是减函数,解得. 综上可知,所求的取
22、值范围为 （江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）来源:学科网ZXXK某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为亿元,其中用于风景区改造为亿元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;每年改造生态环境总费用至少亿元,至多亿元;每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%.(1)若,请你分析能否采用函数模型y=作为生态环境改造投资方案;(2)若、取正整数,并用函数模型y=作为生态环境改造投资方案,请你求出、的取值.来源:学
23、|科|网来源:学|科|网Z|X|X|K【答案】解:(1), 函数y=是增函数,满足条件 设, 则, 令,得. 当时,在上是减函数; 当时,在上是增函数, 又,即,在上是增函数, 当时,有最小值0.16=16%15%, 当时,有最大值0.1665=16.65%0，函数，记（是函数的导函数），且当x = 1时，取得极小值2（1）求函数的单调增区间；（2）证明【答案】【解】（1）由题于是，若，则，与有极小值矛盾，所以令，并考虑到，知仅当时，取得极小值所以解得4分故，由，得，所以的单调增区间为（2）因为，所以记因为， 所以，故10分 （2011年高考（江苏卷）已知a,b是实数,函数 和是和的导函数,若
24、在区间上恒成立,则称和在区间上单调性一致.(1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围;(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求的最大值【答案】【命题立意】本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 【解析】. (1)由题意知在上恒成立.因为,故,进而,即在区间上恒成立,所以.因此b的取值范围是(2)令,解得, 若,由得.又因为,所以函数和在上不是单调性一致的.因此. 现设,当时,;当时,.因此, 当时,.故由题设得且, 从而,于是.因此,且当时等号成立. 又当时,从而当时,故函数和
25、在上单调性一致,因此的最大值为 （江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知函数f(x)=x3+x2-ax(aR).(1)当a=0时,求与直线x-y-10=0平行,且与曲线y=f (x)相切的直线的方程; (2)求函数g(x)= -alnx (x1)的单调递增区间;(3)如果存在a3,9,使函数h(x)=f(x)+f(x)(x-3,b)在x=-3处取得最大值,试求b的最大值.【答案】解:(1)设切点为T(x0,x03+x02),由f(x)=3x2+2x及题意 得3 x02+2 x0=1 解得x0=-1,或x0=. 所以T(-1,0)或T(,). 所以切线方程为x-y+1=0或27x-
26、27y-5=0 (2)因为g(x)=x2+x-a-alnx(x1), 所以由g(x)=2x+1-0,得2x2+x-a0 令(x)=2x2+x-a(x1),因为(x)在(1,+)递增,所以(x)(1)=3-a. 当3-a0即a3时,g(x)的增区间为(1,+); 当3-a3时, 因为(1)=3-a0,所以(x)的一个零点小于1、另一个零点大于1. 由(x)=0得零点x1=1, 从而(x)0(x1)的解集为(,+), 即g(x)的增区间为(,+) (3)方法一:h(x)=x3+4x2+(2-a)x-a,h(x)=3x2+8x+(2-a). 因为存在a3,9,令h(x)=0,得x1=,x2=. 当x
27、x2时,h(x)0;当x1xx2时,h(x)0,所以9(b+3)-(b3+4b2+2b-3)0,即(b+3)( b2+b-10)0. 解得b,所以b的最大值为 方法二:h(x)=x3+4x2+(2-a)x-a, 据题意知,h(x)h(-3)在区间-3,b上恒成立. 即(x3+27)+4(x2-9)+(2-a)(x+3)0,(x+3)(x2+x-1-a)0 . 若x=-3时,不等式成立; 若-3xb时,不等式可化为x2+x-1-a0,即x2+x1+a 令(x)=x2+x. 当-3b2时,(x)在区间-3,b上的最大值为(-3)=6, 不等式恒成立等价于61+a,a5,符合题意; 当b2时,(x)
28、的最大值为(b)=b2+b,不等式恒成立等价于b2+b1+a. 由题意知这个关于a的不等式在区间3,9上有解. 故b2+b(1+a)max,即b2+b10,b2+b-100,解得20,v3,所以当v(3,4.5)时,E0.故E=在(3,4.5)上单调递减,在(4.5,+)上单调递增 所以,当v=4.5时,E取得最小值.即v=4.5km/h时,鲑鱼消耗的能量最小 （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数.().(1)当时,求函数的极值;(2)若对,有成立,求实数的取值范围.(满分40分,答卷时间30分钟)【答案】【答案】解:(1)当时, =, 令,解得. 当时,得或; 当时,得. 当变化时
29、,的变化情况如下表:1+00+单调递增极大单调递减极小单调递增 （江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）设t0,已知函数f (x)=x2(x-t)的图象与x轴交于AB两点.(1)求函数f (x)的单调区间;(2)设函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k,当x0(0,1时,k-恒成立,求t的最大值;(3)有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点C,D,若四边形ABCD为菱形,求t的值.【答案】解:(1)f (x)=3x2-2tx=x(3x-2t)0,因为t0,所以当x或x0,所以(-,0)和(,+)为函数f (x)的单调增区间;
30、当0x时,f (x) 0,所以f (x)在区间上只能是单调增函数 由(x)=3(m-3)x2 + 90在区间(-,+)上恒成立,所以m3. 故m的取值范围是3,) (2)当m3时,f (x)在1,2上是增函数,所以f (x) max=f (2)=8(m-3)+18=4, 解得m=3,不合题意,舍去 当m3时,(x)=3(m-3) x2 + 9=0,得. 所以f (x)的单调区间为:单调减,单调增,单调减. 当,即时,所以f (x)在区间1,2上单调增,f (x) max =f(2)=8(m-3)+18=4,m=,不满足题设要求. 当,即0m0,b0.()若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它
31、们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求a,b的值;()令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为,求:(1)函数h(x)在区间(一,-1上的最大值M(a);(2)若|h(x)|3,在x-2,0上恒成立,求a的取值范围.【答案】 （江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知,其中是自然常数,(1)讨论时, 的单调性.极值; (2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数,使的最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.【答案】(3)假设存在实数,使有最小值3, 当时,由于,则 函数是上的增函数 解得(舍去) 当时,则当时, 此时是减函数 （江苏
32、省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知函数的导函数.(1)若,不等式恒成立,求a的取值范围;(2)解关于x的方程;(3)设函数,求时的最小值【答案】解:(1)因为,所以, 又因为, 所以在时恒成立,因为, 所以 因为,所以, 所以,则或 当时,所以或; 当时,或, 所以或或; 当时,所以或 因为, 若,则时,所以, 从而的最小值为; 若,则时,所以, 当时,的最小值为, 当时,的最小值为, 当时,的最小值为 若,则时, 当时,最小值为; 当时,最小值为. 因为, 所以最小值为.综上所述, （苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）设，函数.(1) 当时,求曲线在处的切线方程
33、;(2) 当时,求函数的最小值.【答案】解（1）当时，令 得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：。（2）当时， ，恒成立。 在上增函数。故当时， 当时，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，且此时(iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为（江苏
34、省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)= x2+1nx.()求函数f(x)在区间1,e上的最大值、最小值;()设g(x)=f(x),求证:.【答案】 （江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）为了保护环境,某化工厂在政府部门的支持下,进行技术改造:每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体,经测算,该工厂每天处理废气的成本(元)与处理废气量(吨)之间的函数关系可近似地表示为:,且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品.(1)当工厂日处理废气量时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,为了保证工厂在生产中没有亏损现象
35、出现,国家至少每天财政补贴多少元?(2)若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴,当日废气处理量不足40吨时,给予每顿80元补贴,废气处理量不少于40吨时,超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴,当工厂的日处理量为多少吨时,工厂处理每顿废气的平均收益最大?【答案】 （江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知函数.(1)求的最大值;(2)若关于的不等式对一切恒成立,求实数的取值范围;(3)若关于的方程恰有一解,其中为自然对数的底数,求实数的值.【答案】(1)因为,所以,2分 由,且,得,由,且, 所以函数的单调增区间是,单调减区间是, 所以当时,取得最大值; (2)因为对一切恒成
36、立, 即对一切恒成立, 亦即对一切恒成立, 设,因为, 故在上递减,在上递增, , 所以 (3)因为方程恰有一解,即恰有一解,即恰有一解, 由(1)知,在时, 而函数在上单调递减,在上单调递增, 故时, 故方程恰有一解当且仅当, 即 （江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交元(为常数,2a5 )的税收.设每件产品的售价为x元(35x41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数
37、关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.【答案】解(1)设日销售量为 则日利润 (2) 当2a4时,33a+3135,当35 x41时, 当x=35时,L(x)取最大值为 当40.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间t,t+3上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间-3,-1上的最小值.【答案】解:(1)f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f(x)=0,得x1=-
38、1,x2=a0. 当x变化时f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a). (2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a0时,在上为减函数, 所以在x=0处取得极大值,且, 故(当且仅当时取等号), 所以函数为上的减函数, 则,即的最大值为0 （江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数.().(1)当时,求函数的极值;(2)若对,有
39、成立,求实数的取值范围.来源:学,科,网【答案】【答案】解:(1)当时, =, 令,解得. 当时,得或; 当时,得. 当变化时,的变化情况如下表:1+00+单调递增极大单调递减极小单调递增 （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设b0,函数,记(是函数的导函数),且当x = 1时,取得极小值2.(1)求函数的单调增区间;(2)证明.【答案】【解】(1)由题. 于是,若,则,与有极小值矛盾,所以. 令,并考虑到,知仅当时,取得极小值. 所以解得 故,由,得,所以的单调增区间为. (2)因为,所以记 因为
40、, 所以,故 （苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前个月顾客对A品牌的商品的需求总量件与月份的近似关系是：(1)写出第月的需求量的表达式；(2)若第月的销售量 （单位：件），每件利润元与月份的近似关系为： ，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（）【答案】解：（1）当时，当时， 。（2）设月利润为 。当时，当时， 。 当时，当时，综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元。（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数.(1)若a=1,求函数在区间的最大
41、值;(2)求函数的单调区间;(3)若恒成立,求的取值范围.【答案】解:(1)若a=1, 则. 当时, , 所以在上单调增, (2)由于,. ()当时,则, 令,得(负根舍去), 且当时,;当时, 所以在上单调减,在上单调增 ()当时, 当时, , 令,得(舍), 若,即, 则,所以在上单调增; 若,即, 则当时,;当时,所以在区间上是单调减,在上单调增 当时, , 令,得,记, 若,即, 则,故在上单调减; 若,即, 则由得,且, 当时,;当时,;当 时,所以在区间上是单调减,在上单调增;在上单调减 综上所述,当时,单调递减区间是 ,单调递增区间 是; 当时, 单调递减区间是,单调的递增区间是
42、 ; 当时, 单调递减区间是(0, )和, 单调的递增区间是和 (3)函数的定义域为. 由,得. * ()当时,不等式*恒成立,所以; ()当时,所以; ()当时,不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立. 令,则. 因为,所以,从而. 因为恒成立等价于,所以. 令,则. 再令,则在上恒成立,在上无最大值. 综上所述,满足条件的的取值范围是 （江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,交曲线于点
43、P,设(1)将(O为坐标原点)的面积表示成的函数;(2)若在处,取得最小值,求此时的值及的最小值.O【答案】解:(1),切线的斜率为, 切线的方程为 令得 , 令,得 的面积 (2) ,由,得 当时, 当时, 已知在处, ,故有 故当时, （江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设函数f(x)= ex-ax-2()求f(x)的单调区间()若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k) f(x)+x+10,求k的最大值【答案】【答案】 （江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知函数.(1)讨论函数的单调区间;(2)设,当a=1时,若对任意的x1,x21,e(e是自然对数的
44、底数),求实数b的取值范围.【答案】解:=0,得, (a)当a=0时,f(x)=x,在(-,+)上是增函数. (b)当a0时,f(x)在(-,-a),(2a,+)上是增函数,在(-a,2a)上是减函数. (c)当a0,a1).(1)当a1时,求证:函数f(x)在(0,+)上单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;(3)若存在x1,x2-1,1,使得|f(x1)-f(x2)|e-1,试求a的取值范围.【答案】解:(1) 由于,故当时,所以, 故函数在上单调递增 (2)当时,因为,且在R上单调递增, 故有唯一解 所以的变化情况如下表所示:x0-0+递减极小值递增又函数有
45、三个零点,所以方程有三个根, 而,所以,解得 (3)因为存在,使得, 所以当时, 由(2)知,在上递减,在上递增, 所以当时, 而, 记,因为(当时取等号), 所以在上单调递增. 而,故当时,;当时,.即当时,; 当时, 当时,由; 当时,由. 综上可知,所求的取值范围为 （江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数.(I)求函数的单调递减区间;(II)若在上恒成立,求实数的取值范围;(III)过点作函数图像的切线,求切线方程.【答案】解答:()得 2分 函数的单调递减区间是; 4分 ()即 设则 7分 当时,函数单调递减; 当时,函数单调递增; 最小值实数的取值范围是; 10分 ()设切点则即 设,当时是单调递增函数 13分 最多只有一个根,又 由得切线方程是. 15分
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