1、12.2 同角三角函数的基本关系第一章 三角函数考点学习目标核心素养同角三角函数基本关系理解同角三角函数基本关系式数学素养同角的三角函数基本关系的应用能正确运用同角三角函数的基本关系进行求值、化简和证明数学运算逻辑推理第一章 三角函数问题导学预习教材 P18P20，并思考下列问题：1同角三角函数的基本关系式有哪两种？2同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2cos21同一个角 的正弦、余弦的_等于 1商数关系sin cos _同一个角 的正弦、余弦的_等于角 的_平方和tan 商正切名师点拨(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相
2、同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23cos231 成立，但是 sin2cos21 就不一定成立(2)sin2 是(sin)2 的简写，读作“sin 的平方”，不能将 sin2 写成sin 2，前者是 的正弦的平方，后者是 2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2cos21对一切R恒成立，而tan sin cos 仅对2k(kZ)成立判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin24cos241 都成立()(2)对任意角，sin 2
3、cos 2tan 2都成立()(3)存在角，有 sin2cos21.()答案：(1)(2)(3)已知 2，sin 35，则 cos 等于()A.45 B45C17D.35答案：B化简：(1tan2)cos2 等于()A1 B0 C1 D2答案：C已知 3sin cos 0，则 tan _答案：13(1)已知 是第二象限角，且 cos 1213，则 tan 的值是()A.1213 B1213C.512D 512(2)已知sin cos sin cos 2，则 3sin cos 2sin 3cos _利用同角基本关系式求值【解析】(1)因为 为第二象限角，所以 sin 1cos2112132 51
4、3，所以 tan sin cos5131213 512.(2)由sin cos sin cos 2，化简得 sin 3cos，所以 tan 3.原式3tan 12tan 389.【答案】(1)D(2)89变设问本例(2)条件不变，计算 2sin23sin cos 的值解：因为 tan 3，所以原式2sin23sin cos sin2cos22sin23sin cos cos2sin2cos2cos22tan23tan tan2123233321 910.(1)求三角函数值的方法 已知 sin(或 cos)求 tan 常用以下方式求解 已知 tan 求 sin(或 cos)常用以下方式求解 当角
5、 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 分区间(象限)讨论(2)已知角 的正切求关于 sin，cos 的齐次式的方法关于 sin，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、分母同除以 cos 的 n 次幂，其式子可化为关于 tan 的式子，再代入求值；若无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 sin2cos2 来代换，将分子、分母同除以 cos2，可化为关于 tan 的式子，再代入求值 1已知 sin 13，且，32，则 tan()A2 23B.2 23C.24D 24解析：选 C.由，32，得 cos 0
6、，又 sin 13，所以 cos 11322 23，则 tan sin cos 24.2已知 是第二象限角，且 tan 724，则 cos _.解析：因为 是第二象限角，故 sin 0，cos 0，又 tan 724，所以sin cos 724，又 sin2cos21，解得 cos 2425.答案：2425 化简下列各式：(1)sin 1sin sin 1sin；(2)12sin 10cos 10cos 10 1cos210.三角函数式的化简【解】(1)sin 1sin sin 1sin sin（1sin）sin（1sin）（1sin）（1sin）2sin21sin22sin2cos2 2ta
7、n2.(2)12sin 10cos 10cos 10 1cos210 （cos 10sin 10）2cos 10sin 10|cos 10sin 10|cos 10sin 10 1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低次数，达到化简的目的 1化简：sin2tan cos2tan 2sin cos.解：原 式 sin2 sin cos cos2 cos sin 2
8、sin cos sin4cos42sin2cos2cos sin（sin2cos2）2sin cos 1sin cos.2若2，化简cos 1cos2sin 1sin21cos2.解：因为2，所以 cos 1sin2，sin 1cos2，所以原式cos sin sin（cos）1cos2cos sin sin cos sin2cos sin cos sin 0.求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .证明简单三角恒等式【证明】法一：因为右边tan2sin2（tan sin）tan sin tan2tan2cos2（tan sin）tan sin tan2（1co
9、s2）（tan sin）tan sin tan2sin2（tan sin）tan sin tan sin tan sin 左边，所以原等式成立 法二：因为左边tan sin tan tan cossin 1cos，右边tan tan cos tan sin 1cos sin 1cos2sin（1cos）sin2sin（1cos）sin 1cos，所以左边右边，原等式成立证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则(2)证明左右两边等于同一个式子(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于 1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 求证：1
10、2sin cos sin2cos2 1tan tan 1.证明：左边sin2cos22sin cos sin2cos2（sincos）2（sin cos）（sin cos）sin cos sin cos 1tan tan 1右边所以原式成立规范解答sin cos 与 sin cos 之间的联系(本题满分 12 分)已知 sin cos15，(0，)，求tan 与 sin cos 的值【解】由 sin cos 15平方得12sin cos 125，(2 分)所以 sin cos 1225，因为（0，），所以cos 0，sin 0，(4 分)所以 sin cos （sin cos）275，(8 分
11、)由此可判断 sin，cos 的符号，是解答本题的关键，否则会出现两个结果 整体代入 sin cos 1225的值求解与 sin cos 15联立解得，sin 45，cos 35，(11 分)所以 tan sin cos 43.(12 分)已知 sin cos 的求值问题的解法对于已知 sin cos 的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：(1)用 sin 表示 cos(或用 cos 表示 sin)，代入 sin2cos21，根据角 的终边所在的象限解二次方程得 sin 的值(或cos 的值)，再求其他，如 tan(体现方程思想)(2)利用 sin cos 及 sin2co
12、s21，先求出 sin cos 的值，然后结合 sin cos 的值求解 sin，cos 的值，再求其他 1已知 sin 23，tan 2 55，则 cos()A.13B.53C.73 D.55解析：选 B.因为 tan sin cos，所以 cos sin tan 232 55 53.2化简1sin 1tan (1cos)的结果是()Asin Bcos C1sin D1cos 解析：选 A.1sin 1tan (1cos)1sin cos sin (1cos)1cos2sin sin2sin sin.3已知 tan 43，且 是第三象限角，求 sin，cos 的值解：由 tan sin cos 43，得 sin 43cos，又 sin2cos21，由得169 cos2cos21，即 cos2 925.又 是第三象限角，所以 cos 35，sin 45.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放