1、题型六 代数思维 例题演练 例 1 甲、乙两位同学对“雨滴的下落速度是否跟雨滴的大小有关”持有不同的意见，于是他们对此展开研究。他们从网上查到，雨滴在下落过程中接近地面时受到的空气阻力与雨滴的横截面积 S 成正比，与雨滴下落速度 v 的平方成正比，即 fkSv2(其中 k 为比例系数，是个定值)，雨滴接近地面时可看做匀速直线运动。把雨滴看做球形，其半径为 r，密度为，比热为 c，球的体积为 V43 r3。(注：所有结果均用字母表示)(1)半径为 r 的雨滴重力为_。(2)在接近地面时，大雨滴的下落速度_(选填“大于”“等于”或“小于”)小雨滴的下落速度，写出推理过程。43 r3 g大于解：(2
2、)雨滴接近地面时可看做匀速直线运动，fG，又fkSv2k r2v2，G43 r3 g，k r2v243 r3 g，v4 gr3k，又k、g 均为定值，r 越大，速度越大。即在近地面大雨滴的下落速度大于小雨滴的下落速度。(3)假设半径为r的雨滴在近地面下落h高度的过程中，重力对它所做的功全部转化为雨滴的内能，则雨滴的温度升高了多少？(3)设雨滴质量为 m，WQ，又Wmgh，Qcm t，mghcm t，tghc。变式 1 假设雨点下落过程中受到空气的阻力与雨点(可看成球形)的横截面积 S 成正比，与下落速度 v 的平方成正比，即 f 阻ksv2，其中 k 为比例常数。已知球的体积公式：V43 r3
3、(r 为半径)，每个雨点的密度相同，且最终都做匀速运动。如果两个雨滴的半径之比为 12 则这两个雨点的落地速度之比为_。1 2例2 小科利用图示装置来测量一密度大于水的实心物体的密度，装置中的OB为轻质细杆，O端用光滑铰链固定在竖直墙上，B端系有细线并连接测力计。其操作：在A处通过细线悬挂待测的实心物体，然后沿竖直方向(BC方向)拉测力计，使OB在水平位置平衡，并读出拉力大小；将实心物体浸没在水中，保持拉力大小不变，只改变拉力方向，当拉力方向为BD时，OB再次在水平位置平衡，此时BC与BD之间的夹角为，若水的密度为，推导出该实心物体的密度物的表达式。解：设物体的体积为V，则物体的重力：Gmg物
4、gV；物体全部浸没在水中，根据阿基米德原理可知，物体受到的浮力为：F浮水gV；在A处通过细线悬挂待测的实心物体，然后沿竖直方向(BC方向)拉测力计，使OB在水平位置平衡，根据杠杆的平衡条件可知：FLOBGLOA；实心物体浸没在水中，保持拉力大小不变，只改变拉力方向，当拉力方向为BD时，OB再次在水平位置平衡，如图所示，此时F的力臂为OD；根据杠杆的平衡条件可知：FLOD(GF 浮)LOA；根据几何关系可知，BOD，则：FLODFLOBcos (GF 浮)LOA；则 cos （GF浮）LOAFLOB（GF浮）LOAGLOAGF浮G1F浮G 1水gV物gV 1水物，则 物水1cos。变式2 在科技
5、小组活动中，亮亮同学受图1所示电子秤的启发，自行设计了一个电子秤，其原理图如图2所示，他试图用电压表(图中暂未画出)的读数来反映物体质量的大小。设电源的电压恒为U，定值电阻的阻值为R0，滑动变阻器的总电阻为R，总长度为L，滑动触头固定在安放托盘的轻弹簧上，并能随轻弹簧一起自由滑动，已知对托盘每施加1 N的压力，弹簧的长度就会缩短a。当托盘中不放物体时，滑动触头指在最上端，此时电压表的示数为零；当在托盘中放一物体时，滑动触头随弹簧向下移动到某一位置，于是电压表就指示出相应的示数。(1)若在托盘上放一质量为m的物体，则滑动触头向下移动的距离为多少？解：(1)物体所受的重力为Gmg，由作用力和反作用
6、力的关系可知，物体对托盘的压力FGmg，由对托盘每施加1 N的压力，弹簧的长度就会缩短a，可知弹簧的弹力与伸长量成正比。所以滑动触头向下移动的距离Lmga。答：(1)质量为m的物体，可使滑动触头向下移动的距离为mga；(2)请在原理图的适当位置接上符合要求的电压表。(3)求出电压表的示数U与待测物体质量m之间的关系式(用已知量的符号表示)。(3)测物体阻器滑片 P 上方电阻丝的电阻值质量为 m 时，滑动变为：R LLRmgaLR，由图可知：电阻 R0 和滑动变阻器串联，由欧姆定律得，电路中的电流：I UR总 URR0，滑片 P 上方电阻丝两端的电压，即电压表的示数为：UIRURR0 mgaLR
7、 mgaURLRLR0。(3)电压表的示数 U 表与待测物体质量 m 之间的关系式为U mgaURLRLR0。拓展提升 1风洞实验室中可以产生方向水平、速度大小可调节的风，用来研究处在流动气体中物体的受力情况。将一个套有木球的细直杆放入风洞实验室，球受到的重力为G。球在杆上运动时，球与杆之间的滑动摩擦力跟它们之间的压力成正比，比例系数是k。如图甲所示，将杆沿平行风速的方向固定，调节风速的大小，使球恰能沿杆匀速运动。再将杆沿竖直方向固定，如图乙所示，将球从杆的上端由静止释放，保持球下滑过程中所受风力与杆处于水平方向时受到的风力大小相同。则球下滑过程中受到的滑动摩擦力为_。k2G2空气的阻力与速度
8、有关，我们把研究的对象近似的简化成球体，当物体的速度比较慢时，空气阻力的表达式是f6rv，是空气的黏度，取1.8105帕秒，不考虑它随温度的变化，r是物体的半径，v是物体的速度大小；当物体的速度比较快时，空气的阻力的表达式是f空r2v2/5，式中空为空气的密度。依据以上的原理，请分析以下问题：(球体的体积公式为V4r3/3，空1.29 kg/m3)(1)试计算半径分别为r1106米与r2103米的水滴在空中竖直下落的速度，并由此说明云、雾和雨是由何种半径的水滴下落形成的？解：(1)水滴在空中竖直下落过程中，受到竖直向下的重力 G 和竖直向上的空气阻力 f，当 fG 时，水滴的速度达到最大值，用
9、第一个空气阻力的表达式可得，水滴在空中竖直下落过程中达到最大速度时，有 6 rv水4 r33g，整理可得：v2水gr29，当 r1106 m 时，v12水gr21921.0103 kg/m310 N/kg（106 m）291.8105 Pas1.23104 m/s，符合实际情况；当 r2103 m 时，v22 水gr22921.0103 kg/m310 N/kg（103 m）291.8105 Pas123.46 m/s，不符合实际，应用第二个空气阻力表达式；用第二个空气阻力的表达式可得，水滴在空中竖直下落过程中达到最大速度时，有 r2v25 水4 r33g，整理可得：v20水rg3，当 r11
10、06 m 时，v1 20 水r1g3201.0103 kg/m3106 m10 N/kg31.29 kg/m30.227 m/s，不符合实际情况，应用第一个空气阻力表达式；当 r2103 m 时，v220水r2g3201.0103 kg/m3103 m10 N/kg31.29 kg/m37.19 m/s，符合实际情况。所以半径为 r1106 m 的水滴形成的是云、雾；半径为 r2103m 的水滴形成的是雨；(2)在尘土飞扬的马路上洒水的物理原理是什么？(3)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，每立方米空气中这种颗粒的含量越高，就代表空气污染越严重。请简要分析PM2.5的来源，以及PM2.5在大气中的停留时间长、输送距离远的原因。(2)使细微的尘土在吸附水滴后，形成较大颗粒，从而加大尘土的沉降速度；(3)通过以上计算，可以发现颗粒越小，颗粒在空气中的沉降速度越小，越容易随气流迁徙，这就导致PM2.5颗粒在大气中停留时间长、输送距离远；PM2.5产生的主要来源，是日常发电、工业生产、汽车尾气排放等过程中经过燃烧而排放的残留物，大多含有重金属等有毒物质。