1、14.2 正弦函数、余弦函数的性质第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性第一章 三角函数考点学习目标核心素养函数的周期性了解周期函数的概念数学抽象正、余弦函数的周期性理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算正、余弦函数的奇偶性理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性逻辑推理第一章 三角函数问题导学预习教材 P34P37，并思考下列问题：1周期函数的定义是什么？2如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？3正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个_，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数
2、f(x)就叫做周期函数非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的_，那么这个最小_就叫做 f(x)的_非零常数Tf(xT)f(x)正数正数最小正周期名师点拨 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一(2)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(nZ 且 n0)也是 f(x)的周期 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysinxycosx 图象 定义域RR周期2k(kZ 且 k0)2k(kZ 且 k0)最小 正周期_奇偶性_22奇函数偶函数名师点拨(1)正、余弦函数的周期性
3、正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角具有的周期性所决定的；由诱导公式 sin(x2k)sinx(kZ)，cos(x2k)cosx(kZ)也可以说明它们的周期性(2)关于正、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称；正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 sin42 sin4，则2是正弦函数 ysinx 的一个周期()(2)函数 ysinx，x(，是奇函数()(3)因为 sin(2x2)sin2x，所以函数 ysin2x 的最小正周期为2.()(4)
4、若 T 是函数 f(x)的周期，则 kT，kN*也是函数 f(x)的周期()答案：(1)(2)(3)(4)下列函数中，最小正周期为 4 的是()AysinxBycosxCysinx2Dycos2x答案：C函数 y2sin2x2 是()A周期为 的奇函数B周期为 的偶函数C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数答案：B若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(1)2017，则 f(2)_答案：2017求下列三角函数的最小正周期 T：(1)f(x)sinx3；(2)f(x)12cos(2x3)；(3)f(x)|sinx|.正、余弦函数的周期问题【解】(1)令 zx3，因为 sin(2
5、z)sinz，所以 f(2z)f(z)，f（x2）3 fx3，所以 T2.(2)法一(定义法)：因为 f(x)12cos(2x3)12cos(2x32)12cos2(x)3f(x)，即 f(x)f(x)，所以函数 f(x)12cos(2x3)的最小正周期 T.法二(公式法)：因为 f(x)12cos(2x3)，所以 2.又最小正周期 T2|22，所以函数 f(x)12cos(2x3)的最小正周期 T.(3)法一：因为 f(x)|sinx|，所以 f(x)|sin(x)|sinx|sinx|f(x)，故 f(x)的最小正周期为.法二：画出函数 y|sinx|的图象，如图所示，由图象可知最小正周期
6、 T.求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(xT)f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数(2)公式法：对形如 yAsin(x)和 yAcos(x)(其中 A，是常数，且 A0，0)的函数，可利用 T2 来求(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法 1设函数 f(x)sin2x3，则 f(x)的最小正周期为()A.2 BC2D4解释：选 B.函数 f(x)sin2x3 的最小正周期 T22.故选B.2设 a0，若函数 ysin(ax)的最小正周期是，则 a_解析：由题意知 T2|a|，所以
7、 a2.答案：2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos2x52；(2)f(x)sin(cosx)正、余弦函数的奇偶性问题【解】(1)函数的定义域为 R，且 f(x)cos22x sin2x.因为 f(x)sin(2x)sin2xf(x)，所以函数 f(x)cos2x52 是奇函数(2)函数的定义域为 R，且 f(x)sincos(x)sin(cosx)f(x)，所以函数 f(x)sin(cosx)是偶函数利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意 若函数 f(x)的定义域不关于原点对称，无论 f(x)与 f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数 1函数 y3cosx 的图象()A关于 x 轴对
8、称B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 x2对称解析：选 B.因为函数 y3cosx 是偶函数，所以图象关于 y 轴对称2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|sinx|cosx；(2)f(x)cos(2x)x3sinx.解：(1)函数的定义域为 R，又 f(x)|sin(x)|cos(x)|sinx|cosxf(x)，所以 f(x)是偶函数(2)函数的定义域为 R，关于原点对称，因为 f(x)cosxx3sinx，所以 f(x)cos(x)(x)3sin(x)cosxx3sinxf(x)，所以 f(x)为偶函数定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正
9、周期为，且当 x0，2 时，f(x)sinx，则 f53 等于()A12 B.12C 32D.32三角函数的奇偶性与周期性解三角形【解析】f53 f53 f23 f23 f3 f3 sin3 32.【答案】D1变条件若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f53 的值解：f53 f3 f3 sin3 32.2变条件、变设问若本例中函数的最小正周期变为2，其他条件不变，求 f176 的值解：因为 f(x)的最小正周期是2，所以 f176 f36 f626 f6 12.关于周期性、奇偶性的应用(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的
10、函数，诱导公式(一)只适用于三角函数(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即 f(x)与f(x)之间的转化求值 函数 f(x)是周期函数，10 是 f(x)的一个周期，且 f(2)2，则 f(22)_解析：f(22)f(2102)f(2)2.答案：21设函数 f(x)sin2x2，xR，则 f(x)是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析：选 B.f(x)sin2x2 sin22x cos2x，因此 f(x)是偶函数，且是最小正周期为22 的周期函数，故选 B.2函数 f(x)2cos2x1 的图象关于_对称(填“原点”或“y 轴”)解析：函数的定义域为 R，f(x)2cos2(x)1 2cos(2x)1 2cos2x1f(x)，故 f(x)为偶函数，所以图象关于 y 轴对称答案：y 轴3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin3x4 32；(2)f(x)sin|x|；解：(1)显然 xR，f(x)sin3x4 32 cos3x4，所以 f(x)cos3x4 cos3x4 f(x)，所以函数 f(x)sin3x4 32 是偶函数(2)显然 xR，f(x)sin|x|sin|x|f(x)，所以函数 f(x)sin|x|是偶函数本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放