1、天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编7：立体几何选择题 （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）AB CD【答案】C 解:由三视图可知,该几何体下面是半径为1,高为2的圆柱.上面是正四棱锥.真四棱锥的高为,底面边长为,所以四棱锥的体积为,圆柱的体积为,所以该几何体的体积为,选C （天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）已知正四棱柱ABCDA1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（）ABCD【答案】B （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题
2、）某几何体的三视图如图所示,则它的体积是（）ABCD【答案】A （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）AB CD【答案】C【解析】若，所以，又，所以，即，所以选C （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）（）A90B60C45D30【答案】B【解析】,取AC的中点M,连结EM,MF，因为E,F是中点，所以,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角。在三角形MEF中，所以,所以直线AB与PC所成的角为
3、为，选B （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）ABCD【答案】A【解析】因为为边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体为正四面体，所以的外接圆的半径为，所以点O到面的距离,所以三棱锥的高,所以三棱锥的体积为，选（）A （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）,为平面,m为直线,如果,那么“”是“”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件.【答案】B【解析】若,当时,或.当时,若,则一定有,所以是的必要不充分条件,选B 二、填空题 （天
4、津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为_.11正视图侧视图俯视图111【答案】 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_;【答案】80【解析】解:由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥,下部为正方体的组合体.四棱锥的高3,正方体棱长为4,所以正方体的体积为.四棱锥的体积为,所以该组合体的体积之和为. （2011年高考（天津理）一个几何体的三视图如右图所示(单位:m)则该几何体的体积为_313正视图321俯视图13侧视图2【答案】【命题立意】本小题主要考查几何体的三
5、视图、圆锥的体积和棱柱的体积计算,考查空间想象能力和计算能力. 【解析】此几何体为一个圆锥和一个长方体组成,其体积为 （天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如上图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为_.【答案】 （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.【答案】 （天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_ 【答案】 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视
6、图如下,若图中圆的半径为,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积是 _【答案】 【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一个圆锥,下部分是个半球,球半径为1,圆锥的高为,所以圆锥的体积为,半球的体积为,所以几何体的总体积为. （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）已知直线m,n与平面,给出下列三个命题:若m,n,则mn;若m,n,则nm;若m,m,则.其中真命题的个数是_个【答案】2 解:平行于同一平面的两直线不一定平行,所以错误.根据线面垂直的性质可知正确.根据面面垂直的性质和判断定理可知正确,所以真命题的个数是2个. （天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）
7、如图为一个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，AB=2,AA=4，则该几何体的表面积为_。【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高是4.所以该三棱柱的表面积为。（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为_【答案】， （天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.【答案】 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_. 正视图俯视图1.51.522322
8、22侧视图第10题图【答案】 ; （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为_.【答案】由三视图可知,该几何体时一个边长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球.所以长方体的体积为,半球的体积为,所以该几何体的体积为. （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为_.【答案】（2010年高考（天津理）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为_【答案】 （2012年天津理）个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_.【答案】由三视图可该几何
9、体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为:=.（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是_cm3.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为。（天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,且其侧视力间一个等边三角形,则这个几何体的体积为_.【答案】 （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一空间几何体的三视图如图所示,
10、若该几何体的体积为,则正视图中的值为_.【答案】3 （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图,侧视图是全等图形,则该几何体的表面积为_.【答案】 （2009高考(天津理)）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a=_【答案】 三、解答题（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB/CD,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC平面ABCD.(1)求证:AB平面PBC;(2)求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小;(3)在棱PB上是否存在点M使得
11、CM/平面PAD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)证明:因为,所以ABBC 因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC,AB平面ABCD, 所以AB平面PBC. (2) 如图,取BC的中点O,连接PO,因为PB=PC,所以POBC.因为PB=PC,所以POBC,因为平面PBC平面ABCD,所以PO平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz. 不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得, . 所以, 设平面PAD的法向量为. 因为,所以 令,则.所以. 取
12、平面BCP的一个法向量, 所以 所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为 (3) 在棱PB上存在点M使得CM/平面PAD,此时.取AB的中点N,连接CM,CN,MN,则MN/PA,AN=AB.因为AB=2CD,所以AN=CD,因为AB/CD,所以四边形ANCD是平行四边形,所以CN/AD. 因为MNCN=N,PAAD=A,所以平面MNC/平面PAD. 因为CM平面MNC,所以CM/平面PAD. （天津市河北区2013届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB/CD,ABAD,PA=AB=4,AD=,CD=2.(I)设平面PAB平面PCD=m
13、,求证:CD/m;()求证:BD平面PAC;()设点Q为线段PB上一点,且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为,求的值.【答案】 （2009高考(天津理)）如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD/BC/FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值 【答案】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力满分12分. 方法一:()解:由题设知,BF/C
14、E,所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点,连结EP,PC因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC又FA平面ABCD,所以EP平面ABCD而PC,AD都在平面ABCD内,故EPPC,EPAD由ABAD,可得PCAD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故CED=60所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 (II)证明:因为 (III) 由(I)可得, 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系, 点为坐标原点设依题意得 (I) 所以异面直线与所成的角的大小为. (II)证明: , (III) 又由题设,平面的一个法向量为 （天津市河东区2013届高三
15、第二次模拟考试数学（理）试题）(本小题满分l )如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,DAB=DBF=60,且FA=FC.(1)求证:AC平面BDEF;(2)求证:FC/平面EAD;(3)求二面角A-FC-B的余弦值.【答案】()证明:设与相交于点,连结. 因为 四边形为菱形,所以, 且为中点 又 ,所以 因为 , 所以 平面 ()证明:因为四边形与均为菱形, 所以/,/, 所以 平面/平面 又平面,所以/ 平面 ()解:因为四边形为菱形,且,所以为等边三角形. 因为为中点,所以,故平面. 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 设.因为四边形为菱形,则,所以, . 所以 . 所以 ,.
16、设平面的法向量为,则有 所以 取,得 易知平面的法向量为 由二面角是锐角,得 . 所以二面角的余弦值为 （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧面PCD底面ABCD,且PC= PD=2, M,N分别为棱PC,AD的中点.(I)求证:BCPD;(II)求异面直线BM与PN所成角的余弦值;()求点N到平面MBD的距离.【答案】解法一: （天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）如图,是圆的直径,点在圆上,交于点,平面,.EAFCMBO（第17题图）()证明:;()求平面 与平面所成锐二面角的余弦值;()求点
17、到平面的距离.EAFCMBO（第17题图）【答案】解:(1).如图,以为坐标原点,垂直于、所在的直线为轴建立空间直角坐标系.由已知条件得, xyzABCFMO.由, 得, (2)由(1)知. 设平面的法向量为, 由 得, 令得, 由已知平面,所以取面的法向量为, 设平面与平面所成的锐二面角为,则,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 (3) （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.()证明:面PAD面PCD;()求AC与PB所成角的余弦值;()求面AMC与面BMC所
18、成二面角的余弦值.【答案】 （天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中ACB=90,M,N分别为A1B,B1C1的中点,BC=AA1=2AC=2,求证:(1)求三棱柱C1-A1CB的体积;(2)求直线A1C与直线MB1所成角的余弦值;(3)求平面B1MN与平面A1CB所成锐二面角的余弦值.【答案】解: (1) -4 (2)-8 (3)-13 （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,点D是棱BC的中点.()求证:平面BCC1B1;()求证:A1B/
19、平面AC1D;()求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值.【答案】 又因为,为中点,所以 因为,所以平面 ()证明:连结,交于点,连结 因为为正方形,所以为中点 所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值 （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.() 求证: /平面;() 求证:面平面; () 求二面角的正切值.FEDCBAP【答案】法一:()证明:为平行四边形 连结,为中点, 为中点在中/ 且平面,平面 ()证明:因为面面 平面面 为正方形,平面 所以平面 又,所以是等腰直角三角形, 且
20、 即 ,且、面 面 又面 面面 () 【解】:设的中点为,连结, 则由()知面, ,面, 是二面角的平面角 中, 故所求二面角的正切值为 法二:如图,取的中点, 连结,. , . 侧面底面, , , 而分别为的中点, 又是正方形,故. ,. 以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系, 则有,. 为的中点, ()证明:易知平面的法向量为而, 且, /平面 ()证明:, , ,从而,又, ,而, 平面平面 () 【解】:由()知平面的法向量为. 设平面的法向量为., 由可得,令,则, 故, 即二面角的余弦值为, 所以二面角的正切值为 （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）如图,已知四棱锥E
21、-ABCD的底面为菱形,且ABC=60,AB=EC=2,AE=BE=(1)求证:平面EAB平面ABCD(2)求二面角A-EC-D的余弦值【答案】解:(1)证明:取AB的中点O,连接EO,CO AEB为等腰直角三角形 EOAB,EO=1 又AB=BC,ABC=60,ABC是等边三角形, ,又 EO平面ABCD,又EO平面EAB,平面EAB平面ABCD (2)以AB的中点O为坐标原点,OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,如图建系则,=(0,2,0) 设平面DCE的法向量为,则,即,解得: 同理求得平面EAC的一个法向量为 ,所以二面角A-EC-D的余弦值为 （天津市五区县2013届高三质量检查
22、（一）数学（理）试题）在三棱锥S -ABC中,是边长为2的正三角形,平面SAC平面ABC,E,F分别为AB、SB的中点.(I)证明:ACSB;()求锐二面角F -CE B的余弦值;()求B点到平面CEF的距离.【答案】证明:()法一:取中点,连结,. 且 平面,又平面, FEBACSOxyz法二:取中点,以为原点, 分别以、为轴、轴、轴, 建立空间直角坐标系,则, , , ()由()得 设为平面的一个法向量,则 取,. 又为平面的一个法向量, 二面角的余弦值为 ()由()()得,为平面的一个法向量 点到平面的距离 （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）(本
23、小题满分I )如图,已知直四棱柱(侧棱垂直底面的四棱柱)ABCDA1B1C1Dl中,底面为梯形,ADDC,AB/ DC,且满足DC=DD1=2AD=2AB=2(I)求证:DB平面B1BCC1;(II)求二面角A1-BD-C1的余弦值【答案】 （天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）(本小题满分13分)在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF，EF/BCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。(1)求证：AB/平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角CDFE的正弦值。【答案】 （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）如
24、图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯ABCD,ADBC,BAD=90O,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PBDM;(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在点E,PEED=,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.存在求出值.【答案】解:(1)如图以A为原点建立空间直角坐标系 A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,1,0),D(0,2,0) M(1,1),N(1,0,1), E(0,m,2-m),P(0,0,2) (2,0,-2),(1,-,1) =0 (2)=(-2,1,0)平面ADMN法向量=(x,
25、y,z) =(0,2,0) =(1,0,1) =(1,0,-1) 设CD与平面ADMN所成角,则 (3)设平面ACN法向量=(x,y,z) =(1,-2,-1) 平面AEN的法向量=(x,y,z) =(1,-1) , 即m=PE:ED=(3-4):2不存在,为135钝角 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,为的中点, 平面.()证明:平面平面;()若,试求异面直线与所成角的余弦值;()在()的条件下,试求二面角的余弦值.【答案】解()依题意, 所以是正三角形, 又 所以, 因为平面,平面,所以 因为,所以平面 因为平面,所以
26、平面平面 ()取的中点,连接、 ,连接,则 所以是异面直线与所成的角 因为, 所以 , 所以 ()()解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系 设(), 则 ()设平面的一个法向量为, 则 ,取,则,从而, 同理可得平面的一个法向量为, 直接计算知,所以平面平面 ()由即 解得 , 所以异面直线与所成角的余弦值 ()由()可知,平面的一个法向量为 又,设平面的法向量则得 设二面角的平面角为,且为锐角 则 所以二面角的余弦值为 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）如图,在长方体,中,点在棱AB上移动.(1)证明:; (2)当为的中点时,求点到面的
27、距离; (3)等于何值时,二面角的大小为.ABCDA1B1C1D1E【答案】解:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则 ABCDA1B1C1D1E (1) (2)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 (3)设平面的法向量, 由 令, 依题意 (不合,舍去), . 时,二面角的大小为 （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）.在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（）证明：连接是长方体，平面， 又平面
28、1分 在长方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分（）如图建立空间直角坐标系，则,5分设平面的法向量为，则 令，则 7分 8分所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）假设在棱上存在一点，使得平面.设的坐标为，则 因为 平面所以 ， 即， ，解得， 12分所以 在棱上存在一点，使得平面,此时的长.13分（天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）在四棱锥中,平面,为的中点,.()求四棱锥的体积;()若为的中点,求证:平面平面;()求锐二面角的大小.ABCDEFP【答案】()解:在中, , 在中, 则 ()建立如图所示的空间直角坐标系 , , , , 设平面AEF的一个法向量为 由 取,得
29、,即 又平面PAC的一个法向量为 平面平面 ()易知平面ACD的一个法向量为 设平面的一个法向量为 由 取,得, 又因为二面角为锐角 二面角的大小为30 （2011年高考（天津理）如图,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,且.()求异面直线与所成角的余弦值;()求二面角的正弦值;()设N为棱的中点,点M在平面内,且平面,求线段BM的长.【答案】【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 【解析】方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.依题意得 , (I)易得,于是 所以异
30、面直线与所成角的余弦值为. (II)易知,设平面的法向量,则,即,不妨令,可得,同样地,设平面的法向量,则,即,不妨令,可得,于是,从而, 所以二面角的正弦值为 (III)由N为棱的中点,得,设, ,由平面,得,即,解得,故,因此,所以线段BM的长. 方法二:(I)由于,故是异面直线与所成的角.因为平面,又是正方形的中心,.可得 因此,所以异面直线与所成角的余弦值为. (II)连接,易知,又由于,所以,过点A作于点R,连接,于是,故为二面角的平面角,在,连接 在中,从而,所以二面角的正弦值为 (III)因为平面,所以,取的中点D,连接ND,由于N是的中点,所以且,又平面,所以平面,故,又,所以
31、平面,连接MD并延长交于点E,则,故,由于,得.延长EM交AB于点F,可得,连接NE,在中,故,所以,得,连接BM,在中. （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点（1）证明:平面.（2）证明:平面.（3）求二面角的大小.【答案】解：（1）证明：连接与交于，为正方形，为中点.为中点，又平面，平面/平面 （2）为中点，为正方形，又平面，平面 又是平面内的两条相交直线，即平面，又平面，所以（2013天津高考数学（理）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD
32、= 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 【答案】本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (方法一)如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0). ()证明:易得,于是,所以. ()解:. 设平面D法向量, 则,即,消去,得, 不妨设,可得一个法向量为. 由(),又,可得平面,故为平面的一个法向量. 于是,从而 所以二面角B1-CE-C1的正弦值为. ()解:,设, 有.可取为平面ADD1A1的一个法向量. 设为直线AM与平面ADD1A1所成角, 则= 于是,解得,所以AM= . (解法二) ()证明:因为侧棱底面,平面.所以.经计算可得,从而.所以在中,又,平面,所以平面,又平面,故. ()解:过作于点G,连接.由(),垂直,故平面,得,所以为二面角B1-CE-C1的平面角.在中,由,可得.在Rt中,所以,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.