数学在问题求解与解决矛盾的辨证中发展.doc

1、数学，在问题求解与解决矛盾的辨证中发展数学素以精确严密的科学著称，可是在数学发展的历史长河中，仍然不断地出现矛盾以及解决矛盾的斗争。从某种意义下讲，数学就是要解决一些问题，问题不过是矛盾的一种形式。有些问题得到了解决，比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和；有些问题至今没有得到解决，如哥德巴赫猜想：任何大偶数都再可以表表示为两个素数之和。我们还很难说这个命题是对还是不对，因为随便给一个偶数，经过有很多次试验总可以得出结论，但是偶数有无穷多个，你穷毕生精力也不会验证完。也许你能碰到到一个很大的偶数，找不到两个素数之和等于它，不过即使这样，你也难以断言这种例外偶数是否有限多个，也就是某一个大偶数

2、之后，上述歌德巴赫猜想成立。这就需要证明，而证明则要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形，没有有限，计算机也是无能为力的。因此看出数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾。只要无穷存在，你就要应付它。这可以说是数学矛盾的根源之一。在处理出现矛盾的过程中，数学家不可能不进行“创造”，这首先表现在产生新概念上，我们不妨先不管自然数。为了解决实际问题、人们必须发明出“零”来，然后要造出负数、有理数、无理数乃至虚数。所谓虚，就是不实，凭空想象出来的意思，不过解代数方程有必要把它请进来，请进来后又觉得它不实在、不太放心。后来它用处很大，

3、能解决非它不可的问题，于是轰也轰不走了。复数挤进数学王国之后，跟着四元数、八元数、超复数都来了，它们可没有复数都么大的用处，甚至根本没用。要还是不要呢？这也使数学家处于为难的境地。数学家经常处于这种矛盾的过程中。“什么是存在？”，这是数学的一个基本问题。什么东西可以挤进数学王国？直觉主义者规定一个较窄的限制：必须能够一步一步构造出来；而形式主义者规定一个较宽的限制：只要没有矛盾就行了。不过什么叫没有矛盾？当然逻辑没有矛盾，其实就是遵守形式逻辑规律。可是形式逻辑是从人类有限经验推出来的，对于无穷情形还灵不灵？这当然存在问题，可是不许推广，那数学还能剩下多少靠得住的东西呢？在数学史上这种矛盾也是屡

4、见不鲜的。无穷小量刚出现时，漏洞百出、无法自圆其说，可是行之有效、解决问题。所以达朗贝尔说：“前进，你就能恢复信心!”，这可以说是一种实用主义态度。十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯用极限概念解决了矛盾，同时也扔掉了无穷小，这里无矛盾性占了上风。1961年，罗滨逊发明非标准分析，又把无穷小量请了回来，仍然没有矛盾。不过它是建立在模型论基础上，要承认非可数无穷基数的存在。承认无穷集合，承认无穷基数，就好象打开潘朵拉的盒子，一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以回避，数学的确定性却在一步一步丧失。最近莫利斯克莱因写了一本数学确定性的丧失一书，就是讲的这件事。观察内容的选

5、择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑

6、得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生

7、用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。现代公理集合论的一大堆公理简直难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑儿消除掉，它们跟整个数学可是血肉相连的。所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续看。矛盾既然是固有的，它的激烈冲突危机也会给数学带来许多新内容，新认识，有时也带来革命性的变化。死记硬

8、背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。把二十世纪的数学同前整个数学相比，内容不知丰富了多少，认识也不知深入了多少。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论。数理逻辑也兴旺发达，成为数学有机整体的部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维，代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从未间断。教学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们在同数学中矛盾斗争的产物。