1、汕尾市2021-2022学年度第二学期全市高中一年级教学质量监测数 学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B2. 已知实数，满足，则下列关
2、系式一定成立的是（）A. B. C. D. 【答案】D3. 已知，向量与的夹角为，则（）A. 5B. C. D. 【答案】D4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B5. 在中，已知，则角为（）A. B. C. 或D. 或【答案】C6. 已知，则的值是（）A. B. C. D. 【答案】A7. 如图，已知，则（）A. B. C. D. 【答案】B8. 一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿x轴折成直二面角，原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答
3、案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（）A. B. C. 的虚部为-1D. 的共轭复数为【答案】AC10. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BD11. 正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则（）A. 该四棱台的侧棱长为B. 与所成角的余弦值为C. 与面所成的角大小为D. 二面角的大小为【答案】BD12. 在中，A，B，C的对边
4、分别为a，b，c，R为外接圆的半径，的面积记为，则下列命题正确的是（）A. 的充要条件是B. 若，则是直角三角形C. 若，则D. 不存在，满足，同时成立【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量，若，则_.【答案】#14. 已知函数，则_.【答案】#0.515. 已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为_.【答案】（满足都正确）16. 在平面四边形中，交于点O，若，则的值为_，的长为_.【答案】 . #； . #.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在平而直角坐标系中，设与
5、x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为和，.（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值.【答案】（1）（2）18. 已知函数，其中，是函数两个零点，且的最小值为.（1）求使取得最大值时自变量x的集合，并求的最大值；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）自变量的集合为：，的最大值为1（2）19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，分别是线段，的中点（1）证明：平面平面；（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1）推导出，平面，从而，进而平面，由此能证明平面
6、平面（2）推导出，平面，根据线面平行的性质，即能证明【详解】解：（1）因为平面，平面，所以.因为是以为直径的圆上的点，所以又，所以平面因为，分别是，的中点，所以所以平面又平面，故平面平面（2）.证明如下：由（1），.又平面，平面，所以平面又平面，平面平面，所以20. 设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知.（1）求角B；（2）若，且，求边c.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.21. 在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理以及平行四边形的性质证明，再由线面平行的判
7、定证明即可；（2）由等体积法得出点到平面的距离.【小问1详解】连接交于点，连接，分别是的中点，即四边形是平行四边形，平面，平面，平面；【小问2详解】设点到平面的距离为，平面，又，平面，且，即，解得.22. 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.（1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；（2）设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？【答案】（1）；（2）长度至少分米.