1、第三章3.23.2.2 一、选择题1点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，则平面ABC的一个法向量为导学号 64150776 ()A(bc，ac，ab)B(ac，ab，bc)C(bc，ab，ac)D(ab，ac，bc)答案A解析设法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，则n(bc，ac，ab)故选A.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于导学号 64150777 ()AACBBDCA1DDA1A答案B解析直线CE在平面AC内的射影为AC，又ACBD，BDCE，故选B.3若平面、的法向量分别为u(2,3，5)，v(3，1,4)，则导学号 6
2、4150778 ()ABC、相交但不垂直D以上均不正确答案C解析u(2,3，5)，v(3，1,4)，u与v不平行且u与v不垂直，故选C.4设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量(2，4，k)，若，则k导学号 64150779 ()A2B4C4D2答案C解析，k4，故选C.5已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cos，则l与所成的角为导学号 64150780 ()A30B60C120D150答案A解析设l与所成角为，cos，又直线与平面所成角满足090.sin|，30.6若直线l的方向向量为a(1,0，2)，平面的法向量为u(4,0,8)，则导学号 64150781 ()
3、AlBlClDl与斜交答案B解析u4a，ua，a，l.故选B.二、填空题7已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m_.导学号 64150782答案8解析设a(2，m,1)，b(1，2)l，ab，2m20，m8.8已知平面ABC，且A(1,2，1)，B(2,0，1)，C(3，2,1)，则平面ABC的一个法向量为_导学号 64150783答案(2,1,0)(答案不唯一)解析(1，2,0)，(2，4,2)，设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则即解得令x2，则一个法向量为(2,1,0)三、解答题9如图所示，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD
4、的中点求证：A1P平面DMN. 导学号 64150784证明建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)向量(0,1,0)(2,0,2)(2,1，2)，(0,2,1)(0,0,0)(0,2,1)，(1,2,0)(2,1，2)(0,2,1)(2)012(2)10.(2,1，2)(1,2,0)(2)112(2)00.，即A1PDM，A1PDN，又DMDND，A1P平面DMN.一、选择题1已知平面，的法向量分别为a(1，y,4)，b(x，1，2)且，则xy的值为导学号 64150785 ()A4B4C8D
5、8答案D解析由已知得ab0，即xy80，则xy8.2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l平面的是导学号 64150786 ()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析若l，则an0.而A中an2；B中an156；C中an1；只有D选项中an330.3已知平面的一个法向量是a(cos，sin，)，平面的一个法向量b(cos，sin，)，若，则导学号 64150787 ()A.B.k(kZ)C.2k(kZ)D.答案B解析由已知得ab0，即cos2sin210，则cos21，
6、22k(kZ)，则k(kZ)4已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为导学号 64150788 ()A.，4B.，4C.，2,4D4，15答案B解析，0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC.(3,1,4)，则解.二、填空题5若直线l的方向向量与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1，0,2)，则直线l与的位置关系是_导学号 64150789答案l解析ab，l.6已知正四棱锥(如图所示)，在向量，中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是_导学号 64150790答案解析0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后
7、可知均与共线而PO平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量7如图所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_导学号 64150791答案2解析以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，(1，x，z)，(1，ax,0)由0，得1x(ax)0，即x2ax10.当a240，即a2时，Q只有一个三、解答题8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，求证：平面EFG平面HMN. 导学号 64150
8、792解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面EFG、平面HMN的法向量，由得，令x11，得m(1，1，1)由得.令x21，得n(1，1，1)mn，即平面EFG平面HMN.9如图所示，ABCD为矩形，PA平面ABCD，PAAD，M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点导学号 64150793(1)求证：MNPAD；(2)求证：平面QMN平面PAD；(3)求证：MN平面PCD.解析(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，M，N，Q，平面PAD的一个法向量为m(1,0,0)m0，即m，MN不在平面PAD内，MN平面PAD，(2)(0，d,0)，m，又QN不在平面PAD内，又QN平面PAD.又MNQNN，平面MNQ平面PAD.(3)(0，d，d)，(b,0,0)，d(d)0，0，又PDDCD，平面PCD.