1、天津市五区县2015-2016学年度第一学期期末考试高三数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）（A） （B） （C） （D）（3）辗转相除法的算法思路如右图所示，记为除以所得的余数，执行程序框图，若输入分别为243,45，则输出b的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）（4）设，则“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）如图，圆O是的外接圆，是圆O的切线。若，则的长为
2、（ ）（A） （B） （C） （D）（6）若双曲线的一条渐近线平行于直线，一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）（7）已知定义域为R的函数（为实数）是偶函数，记，（为自然对数的底数），则的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）（8）已知定义域为R的奇函数的周期为4，且时，。若函数在区间上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是 （ ）（A） （B）或（C） （D）或二、填空题：本小题共有6小题，每小题5分，共30分。（9）若复数是纯虚数，则实数的值为_（10）在的展开式中，则的系数为_（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_（12）曲
3、线和它在点处的切线及x轴围成的封闭图形的面积为_（13）如图，在中，的平分线交于点D，则的面积为_（14）如图，已知为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点到的距离为2，是上的不同两点，点分别在直线上，若，则的值为_三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期;（2）求函数在区间上的最大值与最小值;（16）（本小题满分13分）甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判。设各局比赛双方获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局
4、甲队当裁判。（1）求第四局甲队当裁判的概率；（2）用表示前四局中乙队当裁判的次数，求的分布列和数学期望。（17）（本小题满分13分）已知四棱柱的侧棱底面，是等腰梯形，为的中点（1）求证：平面（2）求证：（3）若，求二面角的余弦值（18）（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列的前n项和，向量且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和（19）（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C上第一象限内的点，的内切圆的圆心为，半径为。求：点P的坐标；直线的方程。（20）（本小题满分14分）已知函数。（1）当时，求函数的单调区
5、间；（2）若，且曲线在点处的切线与直线垂直。当时，试比较与的大小；若对任意，且，证明：。天津市五区县20152016学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 ADCC 5-8 CABD二、填空题:9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题:15.（本小题满分13分）解:（I）因为=， 4分函数f(x)的最小正周期T=， 7分（）函数当时，所以当时， 9分当x0时，. 13分16.（本小题满分13分）解：（I）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场比赛，第四局甲队当裁判（记为事件）时，即第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件），可知第二局甲队参加比赛且
6、获胜（记为事件）， 3分因此和都发生才发生，即； 6分（II）的所有可能取值为：0,1,2， 7分记“第三局乙丙比赛，乙胜丙”为事件，“第一局比赛，乙胜丙”为事件，“第二局乙甲比赛，乙胜甲”为事件，“第三局乙参加比赛，乙负”为事件，所以，. 10分所以的分布列是： 12分所以的数学期望.13分17.（本小题满分13分）（I）取的中点，连结,，因为是的中位线，所以.因为，所以，又因为，可求，故，所以四边形为平行四边形，所以.又因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面. 4分（II）法一：以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设.则，因为故，所以.法二：连结,在等腰三角形中可求，又因为
7、,所以，所以.又因为四棱柱是直四棱柱，故平面，平面，所以.因为，所以平面，平面.所以. 8分（III）以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则， 设是平面的法向量，则令则，所以10分设是平面的法向量，则令则，所以12分又因为二面角为锐角，不妨设为则. 13分18（本小题满分13分）解：（I）由得，2分当时，3分-化简得：，因为数列各项为正数，当时，故数列是等差数列，公差为2. 5分又，解得，所以.7分（II）由得，9分当（）时，11分故时，.12分综上可知 13分19（本小题满分14分）（）设椭圆的方程为，由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 4分（）(i)因为，所以在中，5分所以的面积=. 7分又，所以，由得，故9分（ii）因为，所以直线的方程为，即10分因为的内切圆的半径为，所以可设，则，12分解得或（舍），所以直线的方程为14分20（本小题满分14分）解：（）当时，. 1分若，则，；若，则， 2分综上，函数的增区间为，减区间为. 4分（）因为函数在点处的切线与直线垂直，且所以，故.令， 5分则，因为，所以，又因为，所以时，方程有唯一解. 7分() 当时，令.则，所以在时单调递增，即.故时，. 10分() 若对任意,且,由（）知，必一正一负，不妨设，由()知，,而由（）知，时，函数在上单调递减，所以，即. 14分