1、2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合Ax|0x3，AB1，则集合B可以是（）A1，2B1，3C0，1，2D1，2，33已知双曲线x21（b0）的离心率为，则b的值为（）A1B2C3D44已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）Abac+aBc2abCD|b|c|a|c5在（2x）6的展开式中，常数项为（）A120B120C160D1606如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动当圆M滚动到圆M时，圆M与直线l相切于点B，点A运动到
2、点A，线段AB的长度为，则点M到直线BA的距离为（）A1BCD7已知函数f（x）|xm|与函数g（x）的图象关于y轴对称若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A1，+）B（，1C2，+）D（，28某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）AB2C2D9若数列an满足a12，则“p，rN*，ap+rapar”是“an为等比数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10形如1（n是非负整数）的数称为费马数，记为Fn数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质
3、数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg20.3010）A9B10C11D12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11已知点P（1，2）在抛物线C：y22px上，则抛物线C的准线方程为 12在等差数列an中，a13，a2+a516，则数列an的前4项的和为 13已知非零向量，满足|，则（） 14在ABC中，AB4，B，点D在边BC上，ADC，CD2，则AD ；ACD的面积为 15如图，在等边三角形ABC中，AB6动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：函数f（x）的最大值为12；函数f（x）的图象
4、的对称轴方程为x9；关于x的方程f（x）kx+3最多有5个实数根其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，ABBB12BC2，BC1，点E为A1C1的中点（）求证：C1B平面ABC；（）求二面角ABCE的大小17已知函数f（x）2cos21x+sin2x（）求f（0）的值；（）从11，22；11，21这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在，上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期18科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展
5、的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）（）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由19已知函数f（x）ex+ax（）当a1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；求函数
6、f（x）的最小值；（）求证：当a（2，0）时，曲线yf（x）与y1lnx有且只有一个交点20已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A1（a，0），A2（a，0），B（0，b），A1BA2的面积为2（）求椭圆C的方程；（）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q求证：BPQ为等腰三角形21已知数列an是由正整数组成的无穷数列若存在常数kN*，使得a2n1+a2nkan对任意的nN*成立，则称数列an具有性质（k）（）分别判断下列数列an是否具有性质（2）；（直接写出结论）an1；an2n（）若数列an满足an+1an（n1，2，3，），求
7、证：“数列an具有性质（2）”是“数列an为常数列”的充分必要条件；（）已知数列an中a11，且an+1an（n1，2，3，）若数列an具有性质（4），求数列an的通项公式参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限解：复数zi（2i）i2+2i1+2i复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A【点评】本题考查复数的代数表示法及其
8、几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值2已知集合Ax|0x3，AB1，则集合B可以是（）A1，2B1，3C0，1，2D1，2，3【分析】根据Ax|0x3，AB1，即可得出集合B可能的情况解：Ax|0x3，AB1，集合B可以是1，3故选：B【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题3已知双曲线x21（b0）的离心率为，则b的值为（）A1B2C3D4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可解：双曲线x21（b0）的离心率为，可得，解得b2，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题4已知实数
9、a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）Abac+aBc2abCD|b|c|a|c【分析】法1：根据数轴得到cba0且|c|b|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可解：（法1）根据数轴可得cba0且|c|b|a|，对于A：因为cb，a0，所以c+ac，bab，则c+acba，即c+aba，故A错误；对于B：因为cba0，|c|b|a|，所以c2b2a2，且b2ab，所以c2b2ab，则c2ab，故B错误；对于C：因为ba0，所以，则，故C错误；对于D：因为|b|a|，且c0，所以|b|c|a|c，故D正确，（法2）不妨令c5，b4，a1，则c
10、+a6ba3，故A错误；c225ab4，故B错误；5，故C错误；故选：D【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题5在（2x）6的展开式中，常数项为（）A120B120C160D160【分析】先求出通项，然后令x的指数为零即可解：由题意得：x2k6，令2k60得k3，故常数项为160故选：C【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题6如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动当圆M滚动到圆M时，圆M与直线l相切于点B，点A运动到点A，线段AB的长度为，则点M到直线BA的距离为（）A1BCD【分析】根据条件可得圆旋转了个圆，作图可得到AMB
11、是等腰直角三角形，进而可求得M到AM的距离解：根据条件可知圆周长2，因为BA2，故可得A位置如图：AMB90，则AMB是等腰直角三角形，则M到AM的距离dr，故选：C【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题7已知函数f（x）|xm|与函数g（x）的图象关于y轴对称若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A1，+）B（，1C2，+）D（，2【分析】根据题意，分析可得f（x）在区间（2，1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+）上为增函数，据此可得m的取值范围解：根据题意，函数f（x）|xm|与函数g（x）的图象关于y轴对称若
12、g（x）在区间（1，2）内单调递减，则f（x）在区间（2，1）上递增，而f（x）|xm|，在区间（m，+）上为增函数，则有m2，即m的取值范围为（，2；故选：D【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题8某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）AB2C2D【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9若数列an满
13、足a12，则“p，rN*，ap+rapar”是“an为等比数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论解：“p，rN*，ap+rapar”，取pn，r1，则an+12an，an为等比数列反之不成立an为等比数列，则ap+r2qp+r1，apar22qp+r2，只有q2时才能成立数列an满足a12，则“p，rN*，ap+rapar”是“an为等比数列”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10形如1（n是非负整数）的数称为费马数，记为Fn数学
14、家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg20.3010）A9B10C11D12【分析】根据所给定义表示出F5109.632109，进而即可判断出其位数解：根据题意，F51232+12321032lg210320.3010109.632100.632109，因为1100.63210，所以F5的位数是10故选：B【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11已知点P（1，2）在抛物线C：y22px上，则抛物线C的准线方程为x1【分析】
15、把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为，从而得解解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，42p，p2，抛物线的准线方程为故答案为：x1【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题12在等差数列an中，a13，a2+a516，则数列an的前4项的和为24【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出解：设等差数列an的公差为d，a13，a2+a516，23+5d16，解得d2则数列an的前4项的和43224故答案为：24【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13已知非零向量，满足|，则（）0【分析】把所给条件平方整
16、理得到；代入数量积即可求解结论解：因为非零向量，满足|，2；则（）0故答案为：0【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力14在ABC中，AB4，B，点D在边BC上，ADC，CD2，则AD4；ACD的面积为2【分析】先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积解：如图；因为在ABC中，AB4，B，点D在边BC上，ADC，CD2，所以：AD4；SACDADCDsinADC42sin2；故答案为：4，2【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目15如图，在等边三角形ABC中，AB6动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的
17、路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：函数f（x）的最大值为12；函数f（x）的图象的对称轴方程为x9；关于x的方程f（x）kx+3最多有5个实数根其中，所有正确结论的序号是【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f（x），作出图象如图：则当点P与ABC顶点重合时，即x0，6，12，18时，f（x）取得最大值12，故正确；又f（x）f（18x），所以函数f（x）的对称轴为x9，故正确；由图象可得，函数f（x）图象与ykx+3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故错误故答案为：【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性
18、质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，ABBB12BC2，BC1，点E为A1C1的中点（）求证：C1B平面ABC；（）求二面角ABCE的大小【分析】（）证明ABC1BCBC1B利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B平面ABC（）以B为原点建立空间直角坐标系Bxyz求出平面BCE的法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，【解答】（）证明：因为AB平面BB1C1C，C1B平面BB1C1C所以ABC1B在BCC1中，BC1，CC12，所以所
19、以CBC1B因为ABBCB，AB，BC平面ABC，所以C1B平面ABC（）解：由（）知，ABC1B，BCC1B，ABBC，如图，以B为原点建立空间直角坐标系Bxyz则B（0，0，0），C（1，0，0）.，设平面BCE的法向量为（x，y，z），则，即令则x0，z3，所以又因为平面ABC的法向量为（0，1，0），所以由题知二面角ABCE为锐角，所以其大小为【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题17已知函数f（x）2cos21x+sin2x（）求f（0）的值；（）从11，22；11，21这两个条件中任选一个，作为题目的
20、已知条件，求函数f（x）在，上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期【分析】（）由函数f（x）的解析式求出f（0）的值；（）选择条件时f（x）的一个周期为，利用三角恒等变换化简f（x），再求f（x）在的最小值选择条件时f（x）的一个周期为2，化简f（x），利用三角函数的性质求出f（x）在的最小值解：（）由函数f（x）2cos21x+sin2x，则f（0）2cos20+sin02；（）选择条件，则f（x）的一个周期为；由f（x）2cos2x+sin2x（cos2x+1）+sin2x ；因为，所以；所以，所以；当，即时，f（x）在取得最小值为选择条件，则f（x）的一个周期为2；由f（x）2co
21、s2x+sinx2（1sin2x）+sinx；因为，所以；所以当sinx1，即时，f（x）在取得最小值为1【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题18科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）（）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（）从2010年至2019年中随机选取
22、两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由【分析】（）按照古典概型概率计算公式计算即可；（）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可解：（）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，
23、所以（）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X的所有可能取值为0，1，2且；所以X的分布列为：X012P 故X的期望（）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题19已知函数f（x）ex+ax（）当a1时，求曲线yf（x）在点（0，f
24、（0）处的切线方程；求函数f（x）的最小值；（）求证：当a（2，0）时，曲线yf（x）与y1lnx有且只有一个交点【分析】（）将a1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（）即证函数g（x）ex+ax+lnx1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+）上单调递增，结合零点存在性定理即得证解：（）当a1时，f（x）exx，则 f（x）ex1所以f（0）0又f（0）1，所以曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1；令f（x）0，得x0，此时f（x），f（x）随x的变化如下：x（，0）0（0，+）f（x）0+f（x
25、）极小值可知f（x）minf（0）1，函数f（x）的最小值为1（）证明：由题意可知，x（0，+），令g（x）ex+ax+lnx1，则，由（）中可知exx1，故 ex1+x，因为a（2，0），则，所以函数g（x）在区间（0，+）上单调递增，因为，又因为g（e）ee+aee22e0，所以g（x）有唯一的一个零点即函数yf（x）与y1lnx有且只有一个交点【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题20已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A1（a，0），A2（a，0），B（0，b），A1BA2的面积为2（）求椭圆C的方程；（）设
26、M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q求证：BPQ为等腰三角形【分析】（）由题，求出a，b，即可得到椭圆方程（ II）解法1，设直线A2M方程为，直线A1B方程为，通过联立直线与椭圆方程组，求出M坐标，Q坐标，推出|BP|BQ|，即可证明BPQ为等腰三角形解法2，设M（x0，y0）（x02，y01）则直线A2M方程为，直线A1B方程为通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|BQ|，得到BPQ为等腰三角形解：（）由题解得所以椭圆方程为（ II）解法1证明：设直线A2M方程为，直线A1B方程为由解得点由得（4k+1）x2
27、16k2x+16k240，则所以，即.于是直线A1M的方程为，直线A2B的方程为由解得点于是xPxQ，所以PQx轴设PQ中点为N，则N点的纵坐标为故PQ中点在定直线y1上从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|BQ|，所以BPQ为等腰三角形解法2证明：设M（x0，y0）（x02，y01）则直线A2M方程为，直线A1B方程为由解得点直线A1M方程为，直线A2B方程为由解得点.于是xPxQ，所以PQx轴.故PQ中点在定直线y1上从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|BQ|，所以BPQ为等腰三角形【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以
28、及计算能力，是难题21已知数列an是由正整数组成的无穷数列若存在常数k一、选择题*，使得a2n1+a2nkan对任意的nN*成立，则称数列an具有性质（k）（）分别判断下列数列an是否具有性质（2）；（直接写出结论）an1；an2n（）若数列an满足an+1an（n1，2，3，），求证：“数列an具有性质（2）”是“数列an为常数列”的充分必要条件；（）已知数列an中a11，且an+1an（n1，2，3，）若数列an具有性质（4），求数列an的通项公式【分析】（）利用已知条件及其定义解验证判断出结论（）先证“充分性”：当数列an具有“性质（2）”时，有a2n1+a2n2an，根据an+1an，
29、可得0a2nanana2n10，进而有ana2n，结合an+1an即可证明结论再证“必要性”：若“数列an为常数列”，容易验证a2n1+a2n2a12an，即可证明（）首先证明：an+1an2根据an具有“性质（4）”，可得a2n1+a2n4an当n1时，有a23a13由，且a2na2n1，可得a2n2an+1，a2n12an1，进而有2an+1a2na2n+112an+12，可得2（an+1an）3，可得：an+1an2然后利用反证法证明：an+1an2假设数列an中存在相邻的两项之差大于3，即存在kN*满足：a2k+1a2k3或a2k+2a2k+13，进而有4（ak+1ak）（a2k+2+
30、a2k+1）（a2k+a2k1）（a2k+2a2k+1）+（a2k+1a2k）+（a2k+1a2k）+（a2ka2k1）12又因为，可得ak+1ak3，依此类推可得：a2a13，矛盾综上有：an+1an2，结合a11可得an2n1，解：（）数列an具有“性质（2）”；数列an不具有“性质（2）”（）证明：先证“充分性”：当数列an具有“性质（2）”时，有a2n1+a2n2an，又因为an+1an，所以0a2nanana2n10，进而有ana2n结合an+1an有anan+1a2n，即“数列an为常数列”；再证“必要性”：若“数列an为常数列”，则有a2n1+a2n2a12an，即“数列an具有
31、“性质（2）”（）首先证明：an+1an2因为an具有“性质（4）”，所以a2n1+a2n4an当n1时，有a23a13又因为，且a2na2n1，所以有a2n2an+1，a2n12an1，进而有2an+1a2na2n+112an+12，所以2（an+1an）3，结合可得：an+1an2然后利用反证法证明：an+1an2假设数列an中存在相邻的两项之差大于3，即存在kN*满足：a2k+1a2k3或a2k+2a2k+13，进而有4（ak+1ak）（a2k+2+a2k+1）（a2k+a2k1）（a2k+2a2k）+（a2k+1a2k1）（a2k+2a2k+1）+（a2k+1a2k）+（a2k+1a2k）+（a2ka2k1）12又因为，所以ak+1ak3依此类推可得：a2a13，矛盾，所以有an+1an2综上有：an+1an2，结合a11可得an2n1，经验证，该通项公式满足a2n1+a2n4an，所以：an2n1【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题