1、31.3 概率的基本性质第三章 概率考点学习目标核心素养事件间的相互关系了解事件间的相互关系数学抽象互斥事件、对立事件理解互斥事件、对立事件的概念数学抽象、逻辑推理概率的加法公式会用概率的加法公式求某些事件的概率数学运算第三章 概率问题导学(1)两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、交集、并集和补集等的含义及其符号表示吗？(2)如何理解事件 A 包含事件 B？事件 A 与事件 B 相等？(3)什么叫做并事件？什么叫做交事件？(4)什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？(5)概率的基本性质有哪些？1事件的关系及运算定义表
2、示法图示事件的关系包含关系一般地，对于事件 A 与事件B，如果事件 A 发生，则事件B_，称事件 B包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B)_(或_)一定发生BAAB定义表示法图示事件的关系互斥事件若 AB 为_，则称事件 A 与事件 B 互斥若_，则 A 与 B 互斥 对立事件若 AB 为_，AB 为_，那么称事件A与事件B互为对立事件若_，且 ABU，则A 与 B 对立，即 AB 或 BA 不可能事件AB不可能事件必然事件AB定义表示法图示事件的运算并事件若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)_(或_)事件A发生或事件B发生ABAB定义表示法图示事
3、件的运算交事件若某事件发生当且仅当_，则称此事件为事件 A 与事件B 的交事件(或积事件)_(或_)事件A发生且事件B发生ABAB2.概率的几个性质(1)范围任何事件的概率 P(A)_(2)必然事件的概率必然事件的概率 P(A)_(3)不可能事件的概率不可能事件的概率 P(A)_0，110(4)概率加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则有 P(AB)_(5)对立事件的概率如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 AB 为必然事件，则有 P(AB)P(A)P(B)_P(A)P(B)1名师点拨(1)互斥事件与对立事件的区别与联系区别：两个事件 A 与 B 是互斥事件，包括如下三种情况：()
4、若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；()若事件 B 发生，则事件 A不发生；()事件 A，B 都不发生 而两个事件 A，B 是对立事件，仅有前两种情况，因此事件 A 与 B是对立事件，则 AB 是必然事件，但若 A 与 B 是互斥事件，则 AB不一定是必然事件，亦即事件 A 的对立事件只有一个，而事件 A的互斥事件可以有多个 联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立(2)从集合的角度理解互斥事件与对立事件几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集 事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是
5、全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集(3)对互斥事件的概率加法公式的三点认识前提条件：当事件 A 与 B 是互斥事件，如果没有这一条件，加法公式将不成立 特殊情况：当事件 A 与 B 是对立事件时，P(B)1P(A)应用方法：在求某些较复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较容易求的彼此互斥的事件，或与其对立的事件，化整为零，化难为易 注意 对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件则可以是多个事件间的关系判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)互斥事件一定对立()(2)对立事件一定互斥()(3)事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率()(4)事件 A 与 B 互斥
6、，则有 P(A)1P(B)()解析：对立必互斥，互斥不一定对立 所以(2)正确，(1)错；又当 ABA 时，P(AB)P(A)，所以(3)错；只有 A 与 B 为对立事件，才有 P(A)1P(B)，所以(4)错 答案：(1)(2)(3)(4)一批产品共有 100 件，其中 5 件是次品，95 件是合格品从这批产品中任意抽取 5 件，现给出以下四个事件：事件 A：“恰有一件次品”；事件 B：“至少有两件次品”；事件 C：“至少有一件次品”；事件 D：“至多有一件次品”并给出以下结论：ABC；DB 是必然事件；ABB；ADC.其中正确的序号是()A BCD解析：选 A.AB 表示的事件：至少有一件
7、次品，即事件 C，所以正确，不正确；DB 表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以正确；AD 表示的事件：至多有一件次品，即事件 D，所以不正确(2019广西钦州市期末考试)抽查 10 件产品，设“至少抽到 2 件次品”为事件 A，则 A 的对立事件是()A至多抽到 2 件次品B至多抽到 2 件正品C至少抽到 2 件正品D至多抽到 1 件次品解析：选 D.因为“至少抽到 2 件次品”就是说抽查 10 件产品中次品的数目至少有 2 个，所以 A 的对立事件是抽查 10 件产品中次品的数目最多有 1 个故选 D.(2019广西钦州市期末考试)某产品分为优质品、合格品、次品三
8、个等级，生产中出现合格品的概率为 0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为_解析：由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为 P10.250.030.72.答案：0.72 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件(1)恰有 1 名男生与恰有 2 名男生；(2)至少有 1 名男生与全是男生；(3)至少有 1 名男生与全是女生；(4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生互斥事件与对立事件的判
9、定【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生(1)因为“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有 2 名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件(2)因为恰有 2 名男生时“至少有 1 名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件(3)因为“至少有 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)由于选出的是 1 名男生 1 名女生时“至少有 1 名男生”与“至少有 1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件(1)包含关系、
10、相等关系的判定事件的包含关系与集合的包含关系相似；两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立 判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各 10 张)中，任取 1 张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(
11、3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件 理由是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，也不是对立事件 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出的牌点数为 5的倍数”与“
12、抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件 盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A3 个球中有 1 个红球 2 个白球，事件 B3 个球中有2 个红球 1 个白球，事件 C3 个球中至少有 1 个红球，事件D3 个球中既有红球又有白球求：(1)事件 D 与 A、B 是什么样的运算关系？(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？事件的运算【解】(1)对于事件 D，可能的结果为 1 个红球，2 个白球或 2个红球，1 个白球，故 DAB.(2)对于事件 C，可能的结果为 1 个红球，2 个白球或 2
13、个红球，1 个白球或 3 个均为红球，故 CAA.在本例中，设事件 E3 个红球，事件 F3 个球中至少有一个白球，那么事件 C 与 A、B、E 是什么运算关系？C 与 F 的交事件是什么？解：由事件 C 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球1 个白球，3 个红球三种情况，故 AC，BC，EC，所以 CABC，而事件 F 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球，所以 CF1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球D.(1)利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算(2)利用 Venn
14、图借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算 掷一枚骰子，下列事件：A出现奇数点，B出现偶数点，C点数小于 3，D点数大于 2，E点数是 3 的倍数求：(1)AB，BC；(2)AB，BC；(3)D，AC，D E.解：(1)AB，BC出现 2 点(2)AB出现 1，2，3，4，5 或 6 点，BC出现 1，2，4 或 6 点(3)D点数小于或等于 2出现 1 或 2 点；AC出现 1 点；D E出现 1，2，4 或 5 点 一名射击运动员在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环，7 环，7 环以下的概率分别为 0.24，0.28，0.19，0.
15、16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中 10 环或 9 环的概率；(2)至少射中 7 环的概率利用互斥、对立事件求概率【解】设“射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7环”“射中 7 环以下”的事件分别为 A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且 P(A)0.24，P(B)0.28，P(C)0.19，P(D)0.16，P(E)0.13.(1)P(射中 10 环或 9 环)P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52，所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.52.(2)事件“至少射中 7 环”与事件 E“射中 7 环以下”是对立事件，则 P(至少
16、射中 7 环)1P(E)10.130.87.所以至少射中 7 环的概率为 0.87.在本例条件下，求射中环数小于 8 环的概率解：事件“射中环数小于 8 环”包含事件 D“射中 7 环”与事件 E“射中 7 环以下”两个事件，则 P(射中环数小于 8 环)P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B)(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其
17、反面，然后转化为所求问题 注意 有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即 P(ni1Ai)ni1P(Ai)某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于 5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多 2 人的概率；(2)求派出医生至少 2 人的概率解：设“不派出医生”为事件 A，“派出 1 名医生”为事件 B，“派出 2 名医生”为事件 C，“派出 3 名医生”为事件 D，“派出 4 名医生”为事件 E，“派出 5 名及 5 名以上医生”为事件 F，事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥，且 P(A)0.1，P(B)0.1
18、6，P(C)0.3，P(D)0.2，P(E)0.2，P(F)0.04.(1)“派出医生至多 2 人”的概率为 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(CDEF)P(C)P(D)P(E)P(F)0.30.20.20.040.74.法二：“派出医生至少 2 人”的概率为 1P(AB)10.10.160.74.1掷一枚质地均匀的骰子，记事件 M出现的点数是 1 或 2，事件 N出现的点数是 2 或 3 或 4，则下列关系成立的是()AMN出现的点数是 2BMN出现的点数是 2CMNDMN解析：选 B.MN出现的点数是 1 或 2
19、或 3 或 4，MN出现的点数是 2，A 不正确，B 正确；当出现的点数是 1 时，M 发生，N 不发生，故 C，D 都不正确2(2019黑龙江省大庆实验中学期中考试)若 A 与 B 为互斥事件，则()AP(A)P(B)1CP(A)P(B)1 DP(A)P(B)1解析：选 D.若 A 与 B 为互斥事件，则 P(A)P(B)1.故选 D.3(2019四川省绵阳市教学质量测试)从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球，则事件“取出 1 个红球和 2 个白球”的对立事件是()A取出 2 个红球和 1 个白球B取出的 3 个球全是红球C取出的 3 个球中既有红球也有白球D取出的 3
20、 个球中不止一个红球解析：选 D.从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 3 个球可能的情况有：“3 个红球”“1 红 2 白”“2 红 1 白”，所以事件“取出 1 个红球和 2 个白球”的对立事件是“3 红或是 2 红 1白”即“3 个球不止一个红球”故选 D.4(2019黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考)从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于 200 克的概率为 0.2，重量在200，300内的概率为 0.5，那么重量超过 300 克的概率为_解析：设重量超过 300 克的概率为 P，因为重量小于 200 克的概率为 0.2,重量在200，300内的概率为 0.5，所以 0.20.5P1，所以 P10.20.50.3.答案：0.3本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
