1、第 2 课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识链接1已知 x，y 都是正数，若 xys(和为定值)，那么 xy 有最大值还是最小值？如何求？答 xy 有最大值由基本不等式，得 sxy2 xy，所以 xys24，当 xy 时，积 xy 取得最大值s24.2已知 x，y 都是正数，若 xyp(积为定值)，那么 xy 有最大值还是最小值？如何求？答 xy 有最小值.由基本不等式，得 xy2 xy2 p.当 xy 时，xy 取得最小值 2 p.预习导引1用基本不等式求最值的结论(1
2、)设 x，y 为正实数，若 xys(和 s 为定值)，则当 xy 时，积 xy 有最大值，且这个值为s24.(2)设 x，y 为正实数，若 xyp(积 p 为定值)，则当 xy 时，和 xy 有最小值，且这个值为2 p.2基本不等式求最值的条件(1)x，y 必须是正数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为定值；求和 xy 的最小值时，应看积 xy 是否为定值(3)等号成立的条件是否满足.要点一 基本不等式与最值例 1(1)若 x0，求函数 yx4x的最小值，并求此时 x 的值；(2)设 0 x2，求 x 4x2的最小值；(4)已知 x0，y0，且 1x9y1，求 xy 的最小值解
3、(1)当 x0 时，x4x2x4x4，当且仅当 x4x，即 x24，x2 时取等号函数 yx4x(x0)在 x2 时取得最小值 4.(2)0 x0，y4x(32x)22x(32x)22x32x2292.当且仅当 2x32x，即 x34时，等号成立340，32.函数 y4x(32x)(0 x2，x20，x 4x2x2 4x222x2 4x226，当且仅当 x2 4x2，即 x4 时，等号成立x 4x2的最小值为 6.(4)法一 x0，y0，1x9y1，xy1x9y(xy)yx9xy 1061016，当且仅当yx9xy，又1x9y1，即 x4，y12 时，上式取等号故当 x4，y12 时，(xy)
4、min16.法二 由1x9y1，得(x1)(y9)9(定值)可知 x1，y9，xy(x1)(y9)102 x1y91016，当且仅当 x1y93，即 x4，y12 时上式取等号，故当 x4，y12 时，(xy)min16.规律方法 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件跟踪演练 1(1)已知 x0，求 f(x)12x 3x 的最小值；(2)已知 x0，y0，且 2x8yxy，求 xy 的最小值解(1)x0，f(x)12x 3x212x 3x
5、12，当且仅当 3x12x，即 x2 时取等号f(x)的最小值为 12.(2)x3，x30，y0，x80，y 2xx8，xyx 2xx8x2x1616x8(x8)16x8102x8 16x81018.当且仅当 x8 16x8，即 x12 时，等号成立xy 的最小值是 18.法二 由 2x8yxy0 及 x0，y0，得8x2y1.xy(xy)8x2y8yx 2xy 1028yx 2xy 1018.当且仅当8yx 2xy，即 x2y12 时等号成立xy 的最小值是 18.要点二 基本不等式在实际问题中的应用例 2(1)用篱笆围一个面积为 100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用
6、的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解(1)设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 xy100，篱笆的长为 2(xy)m.由xy2 xy，可得 xy2 100，2(xy)40.等号当且仅当 xy 时成立，此时 xy10.因此，这个矩形的长、宽都为 10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为 40 m；(2)设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为 xy m2.由 xyxy2 182 9，可得 xy81，当且仅当 xy，即 xy9 时，等号成立因
7、此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 81 m2.规律方法 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件跟踪演练 2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格 1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付
8、的总费用为 y1 元，则 y11x9x(x1)90061 8009x900 x 10 80929x900 x 10 80910 989(元)，当且仅当 9x900 x，即 x10 时，等号成立该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3x 与 t1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万件，已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆
9、品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数(2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)解(1)由题意可设 3x kt1，将 t0，x1 代入，得 k2.x3 2t1.当年生产 x 万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年 生 产 成 本 为 32x 3 32 3 2t1 3.当 销 售 x(万 件)时，年 销 售 收 入 为150%323 2t1 3
10、 12t.由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润 yt298t352t1(t0)(2)yt298t352t150t12 32t1502t12 32t1502 1642(万元)，当且仅当t12 32t1，即 t7 时，ymax42，当促销费投入 7 万元时，企业的年利润最大规律方法 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)跟踪演练 3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于v202 千米
11、，那么这批货物全部运到 B 市，最快需要_小时答案 8解析 设这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t，则t40016v202v400v 16v4002400v 16v4008(小时)，当且仅当400v 16v400，即 v100 时等号成立，此时 t8 小时.1设 0 x32，则函数 yx(32x)的最大值是()A.916B.94C2D.98答案 D解析 0 x0，yx(32x)2x32x 2x32x2298，当且仅当 x32x，即 x34时，取“”，函数 yx(32x)的最大值为98.2已知 x52，则 f(x)x24x52x4有()A最大值52B最小值54C最大值 1D最小值 1答
12、案 D解析 f(x)x24x52x4x2212x212x2 1x2 1.当且仅当 x2 1x2，即 x3 时等号成立3将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A6.5 mB6.8 mC7 mD7.2 m答案 C解析 设两直角边分别为 a，b，直角三角形的框架的周长为 l，则12ab2，ab4，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m)要求够用且浪费最少，故选 C.4已知 a3，则 a 4a3的最小值为_答案 7解析 a3，a30.a 4a3a3 4a332a3 4a337，当且仅当 a5 时取
13、等号a 4a3的最小值为 7.1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 yxpx(p0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作
14、答一、基础达标1已知 x1，y1 且 lg xlg y4，则 lg xlg y 的最大值是()A4B2C1D.14答案 A解析 x1，y1，lg x0，lg y0，lg xlg ylg xlg y224，当且仅当 lg xlg y2，即 xy100 时取等号2已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2x4y 的最小值为()A2 2B4 2C16D不存在答案 B解析 点 P(x，y)在直线 AB 上，x2y3.2x4y2 2x4y2 2x2y4 2.当且仅当 2x4y，即 x32，y34时，等号成立3函数 ylog2x 1x15(x1)的最小值为()A3B3C4D
15、4答案 B解析 x 1x15(x1)1x162x1 1x168.当且仅当 x2 时，取“”log2x 1x15 3，ymin3.4已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72B4C.92D5答案 C解析 ab2，ab2 1.1a4b(1a4b)(ab2)52(2ab b2a)5222ab b2a92(当且仅当2ab b2a，即 b2a 时，“”成立)，故 y1a4b的最小值为92.5周长为 21 的直角三角形面积的最大值为_答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为 a、b，则 21aba2b22 ab2ab，解得 ab12，当且仅当 ab 22 时取“”，所以直角三
16、角形面积 S14，即 S 的最大值为14.6建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元答案 1 760解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m，由于底面积为 4 m2，所以另一边长为4x m那么y12042802x24x480320 x4x4803202x4x1 760(元)当且仅当 x2 时等号成立，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元7设 0 x2，求函数 y 3x83x的最大值解 0 x2，03x20，y 3x83x3x83x2824，当且
17、仅当 3x83x，即 x43时，取等号当 x43时，y 3x83x有最大值 4.8某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元由已知，得 y100.9x0.2x20.2x2x，即 y110 x x10(xN*)由基本不等式知 y1210 x x103，当且仅当10 x x10，即 x10 时取等号因此使用 10年报废最合算，年平均费用为
18、3 万元二、能力提升9若 xy 是正数，则x 12y2y 12x2 的最小值是()A3B.72C4D.92答案 C解析 x 12y2y 12x2x2y2141x21y2 xyyxx2 14x2 y2 14y2 xyyx 1124.当且仅当 xy 22 或 xy 22 时取等号10设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A0B1C.94D3答案 B解析 由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2.所以xyz xyx23xy4y21xy4yx 312xy4yx 31，当且仅当xy4yx，即 x2y 时取等号，此时 z2y2，xyz
19、max1.2x1y2z 22y1y 22y21y22y1y1 211，当 y1 时，取等号，故选 B.11设 x1，则函数 yx5x2x1的最小值是_答案 9解析 x1，x10，设 x1t0，则 xt1，于是有 yt4t1tt25t4tt4t52t4t59，当且仅当 t4t，即 t2 时取等号，此时 x1.当 x1 时，函数 yx5x2x1取得最小值 9.12某建筑公司用 8 000 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4 000平方米的楼房经初步估计得知，如果将楼房建为 x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为 Q(x)3 00050 x(单位：元)为了使楼房每平
20、方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积)解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，依题意得f(x)Q(x)8 00010 0004 000 x50 x20 000 x3 000(x12，xN)，f(x)50 x20 000 x3 000250 x20 000 x3 0005 000(元)当且仅当 50 x20 000 x，即 x20 时上式取“”因此，当 x20 时，f(x)取得最小值 5 000(元)所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 20 层，每平
21、方米的平均综合费用最小值为 5 000 元三、探究与创新13如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解(1)设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知：4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.法一 由于 2x3y2 2x3y2 6xy，2 6xy18，得 xy272，即 S272，当且仅当 2x3y 时，等号成立由2x3y
22、18，2x3y，解得x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大法二 由 2x3y18，得 x932y.x0，0y6，Sxy932y y32(6y)y.0y0，S326yy22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.法一 2x3y2 2x3y2 6xy24，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立由2x3y，xy24 解得x6，y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小法二 由 xy24，得 x24y.l4x6y96y 6y616y y 6216y y48.当且仅当16y y，即 y4 时，等号成立，此时 x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小