1、海淀区高三年级第二学期阶段性测试数学2020春第一部分(选择题共40分)一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内,复数对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应的点为，在第一象限考点：复数运算2.已知集合， ，则集合可以是（ ）A. 1，2B. 1，3C. 0，1，2D. 1，2，3 【答案】B【解析】【分析】集合，是数集， , 集合中一定没有元素，由选项可得.【详解】，则集合中一定有元素，又,集合中一定没有元素可以是 故选：B.【点睛】本题考查集合交集运算. 交集
2、运算口诀：“越交越少，公共部分”.3.已知双曲线的离心率为则b的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题知 ， 及联解可得【详解】由题知 ，.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为求解4.已知实数a，b，c在数轴
3、上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解.【详解】由数轴知 ，不妨取，对于A， ， 不成立.对于B， 不成立.对于C， ， 不成立.对于D， ，因此成立. 故选：D【点睛】利用不等式性质比较大小要注意不等式性质成立的前提条件解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法5.在的展开式中，常数项为（ ）A. B. 120C. D. 160【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.【详解】展开式的通项 ，令 常数项故选：C【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型
4、及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数6.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B，点A运动到点，线段AB的长度为则点到直线的距离为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】线段AB的长度为即圆滚动了圈，此时到达，则点到直线的距离可求.【详解】线段AB的长度为设圆滚动了圈，则 即圆滚动了圈，此时到达，则点到直线的距离为.故选：C【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.圆的渐
5、开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.7.已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1，2)内单调递减，则m的取值范围为（ ）A. -1，+)B. (-，-1C. -2，+)D. (-，-2【答案】D【解析】【分析】函数与的图象关于轴对称,得到，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.【详解】函数与函数的图象关于轴对称,，在区间内单调递减，则，故选：D【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键
6、是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】四棱锥底面是直角梯形，底面,可知最长棱是,在直角三角形中利用勾股定理可解.【详解】由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，底面,最长棱是，在中，在中，.故选：D【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题.要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图9.若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】,不妨设，则可
7、证充分性；为等比数列且时得不到，可知必要性不成立【详解】不妨设，则 为等比数列；故充分性成立反之若为等比数列，不妨设公比为， 当时，所以必要性不成立故选：A【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证10.形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）(参考数据: lg20.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解
8、析】【分析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.【详解】,设，则两边取常用对数得.，故的位数是10，故选：B【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的简化计算.第二部分(非选择题共110分)二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知点P(1，2)在抛物线C上，则抛物线C的准线方程为_.【答案】【解析】【分析】代入抛物线方程，求出，可求准线方程.【详解】在抛物线上，准线方程为，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线
9、的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性12.在等差数列中，则数列的前4项的和为_.【答案】【解析】【分析】利用等差数列基本量关系求通项. 利用等差数列前项和公式求出.【详解】设等差数列的公差为.，（2）.故答案为：【点睛】本题考查解决等差数列通项公式及前项和.（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量13.已知非零向量 满足，则=_.【答案】0【
10、解析】【分析】两边平方求出；化简 可求解.【详解】由两边平方，得，故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式.(2)若向量 是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式或，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解14.在ABC中，点D在边BC上，CD=2，则AD=_；ACD的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】在中用正弦定理求解，在用面积公式可得.【详解】在中由正弦定理得：，.在中，故答案为： ;.【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形
11、，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果15.如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：函数f(x)的最大值为12；函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；关于x的方程最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.【详解】分别在上运动时的函数解析式，分别在上运动时的函数解析式，分别在上运动时的函数解析式，由图象知：
12、正确的是.故答案为：【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16.如图，在三棱柱中，AB平面，点E为的中点.(I)求证：平面ABC；(II)求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(I) 证，在同一平面内用“数据说话”，证 用线面垂直的性质；(II) 以为原点，建立空间直角坐标系，求出 求出平面求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得.【详解】(I)
13、平面平面，在中， ，平面ABC；(II)由(I)知,则建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，故 ，.令，又平面的法向量为，.由题知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小17.已知函数.(I)求f(0)的值；(II)从；这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.【答案】(I) ；(II) 时，；时，.【解析】【分析】(I)
14、将代入求值即可；(II)用二倍角和辅助角公式化简可得，再由可得，结合正弦函数图象求解最值；，利用抛物线知识求解【详解】(I)；(II)，由题意得，故，所以当时，取最小值.，令，当时，函数取得最小值为.，【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；（2）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. （3）换元转化为二次函数研究最值.18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这
15、10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).(I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.【答案】(I)； (II)分布列如下：012(III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司
16、在发展的过程中重视研发.【解析】【分析】(I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在以下(II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年，的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.(III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ,.(II)由
17、题意得的取值可能为0，1，2,.的分布列为012.（III）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.【点睛】超几何分布的特征.(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布求离散型随机变量分布列的步骤.19.已知函数.(I)当a=-1时，求曲线y= f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；求函数f(x)的最小值；(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.【答案】（1）切线方程；（2）证明见解析【解析】分析】(I)函数求导，求出得切线方程；解求单增区
18、间，解求单减区间；利用单调性求最值；(II)构造得到函数调调性，由零点存在性定理证有且只有一个零点.【详解】(I)当时，函数，即，曲线在点处的切线方程为.令，得，令，得，所以在上单增，在单减,函数的最小值为.(II) 当时，曲线与有且只有一个交点.等价于有且只有一个零点.，当时，则，当时，则，在上单增，又，由零点存在性定理得有唯一零点，即曲线与有且只有一个交点.【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法：（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交
19、点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.20.已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.(I)求椭圆C的方程；(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:BPQ为等腰三角形.【答案】(I)；(II)证明见解析【解析】【分析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合的关系，解方程可得，从而得到椭圆方程(II) 设，直线的直线方程为直线的直线方程为，联解求出点坐标，同理求出坐标，,，只需证明,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得，解得，故椭圆的方程为.(II)由题意得,设点，则有，又直线的直线方程为，直线的直线方程为，解得，
20、点的坐标为.又直线的直线方程为，直线的直线方程为.，解得，点的坐标为.，. ，BPQ为等腰三角形.【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21.已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得任意的成立，则称数列具有性质.（1）分别判断下列数列是否具有性质； (直接写出结论)（2）若数列满足，求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；（3）已知数列中且.若数列具有性质，求数列的通项公式.【答案】（1）时，数列具有性质；时，数列不具
21、有性质.（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）代入验证即可得.（2）充分性: 由及数列具有性质可得；必要性：数列为常数列，所以可证.（3）数列具有性质，求出，由，对取值进行证明排除，得到，猜想，用反证法证明猜想成立.【详解】（1）时，数列具有性质.时，数列不具有性质.（2），等号成立，当且仅当，因为数列具有性质，即，所以数列为常数列.必要性：因为数列为常数列，所以，成立，即数列具有性质.（3）数列具有性质，.若，矛盾；若则矛盾.所以，所以猜想.证明如下：假设命题不成立，设（ ），考虑数列，当时具有性质，此时，即或，矛盾，.【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理