1、课时素养评价四十二正切函数的图象与性质 (15分钟35分)1.(2020大庆高一检测)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是()A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】选C.由2x+k+,kZ,得x+,则当k=0时,x,即x=与函数图象不相交.【补偿训练】函数y=的定义域是_.【解析】由题意得1-tan x0即tan x1结合图象可解得k-x+k,kZ.答案:(kZ)2.f(x)=tan的最小正周期为()A.B.C.D.2【解析】选B.方法一:函数y=tan(x+)的周期是T=,直接套用公式,可得T=.方法二:由诱导公式可得tan=tan=tan,所以f=f(x),所以周期为T=.3.当x时
2、,函数y=tan |x|的图象()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.无法确定【解析】选B.函数y=tan |x|,x是偶函数,其图象关于y轴对称.4.已知函数f(x)=tan x在上单调递减,则的取值范围是()A.01B.-10C.-20D.0【解析】选B.由f(x)在上单调递减知:0,且,因此-,解得-10,故选B.5.函数f(x)=-2tan x+m,x有零点,则实数m的取值范围是_.【解析】函数f(x)=-2tan x+m有零点,即方程2tan x=m有解.因为x,所以tan x-1,所以m-2,2.答案:-2,26.求函数y=tan的定义域、周期及单调区间.【解析】由
3、x-+k,kZ,得x+2k,kZ,所以函数y=tan的定义域为.T=2,所以函数y=tan的周期为2.由-+kx-+k,kZ,得-+2kx+2k,kZ.所以函数y=tan的单调递增区间为(kZ). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知A为锐角,且tan A=,那么下列判断正确的是()A.0A30B.30A45C.45A60D.60A90【解析】选B.由题知,1,即tan 30tan Atan 45.由正切函数随锐角的增大而增大,得30A45.2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin-2x的最小正周期相同,则=()A.1B.1C.2D.2【解析】选A.g(x)的最小
4、正周期为,则=,得=1.3.已知函数f(x)=x+tan x+1,若f(a)=2,则f(-a)=()A.0B.-1C.-2D.3【解析】选A.设g(x)=x+tan x,显然g(x)为奇函数.因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0.【补偿训练】函数y=()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.因为1+cos x0,即cos x-1,得x2k+,kZ.又tan x中xk+,kZ,所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.令f(x)=,则f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
5、4.(2020长治高一检测)函数y=tan的图象()A.关于原点对称B.关于点对称C.关于直线x=-对称D.关于点对称【解析】选D.函数y=tan中,令2x+=,kZ;解得x=-,kZ;令k=1,得x=,所以y=tan的图象关于点对称,D正确.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列各式中正确的是()A.tan 735tan 2C.tantanD.tantan【解析】选ABD.因为tan 735=tan(735-720)=tan 15,tan 800=tan(800-720)=tan 80且0158090,正切函数在上单调递增,所以tan
6、735tan 0=0,tan 2tan 2;因为tan,因为tan=tan,且0,正切函数在上单调递增,所以tantan,即tan-1的三角形的内角A的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选BD.因为角A为三角形的内角,所以0A-1,结合正切曲线得A.【光速解题】因为角A是三角形的内角,所以0A0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为,则f的值是_.【解题指南】f(x)=tan x(0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为,说明函数f(x)的周期为.【解析】由题意知=,所以=4.所以f=tan=.答案:8.若f(n)=tan(nN*),则f(1)+f(2)+f(2 020)=_.【解
7、析】因为f(n)=tann(nN*)的周期T=3,且f(1)=tan=,f(2)=tan=-,f(3)=tan =0,所以f(1)+f(2)+f(2 020)=0+tan=.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.函数y=Atan(x+)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为,且过点(0,-3),求此函数的解析式.【解析】因为T=-=,所以=.将点代入y=Atan,得0=Atan,得=-.将(0,-3)代入y=Atan,得A=3.所以y=3tan.10.已知函数f(x)=x2+2xtan -1,x-1,其中.(1)当=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.(2)求的取值范围,使y=f(x)在
8、区间-1,上是单调函数.【解析】(1)当=-时,f(x)=x2-x-1=-,x-1,.所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;当x=-1时,f(x)取得最大值,为.(2)函数f(x)=(x+tan )2-1-tan2的图象的对称轴为x=-tan .因为y=f(x)在区间-1,上单调,所以-tan -1或-tan ,即tan 1或tan -.又,所以的取值范围是.1.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是()【解析】选D.当x时,tan xsin x,y=2tan x0;当x=时,y=0;当xsin x,y=2sin x0.【补偿训练】函数y=sin x与y=tan x的图象在区间0,2上有_个交点.【解析】函数y=sin x与y=tan x在区间0,2内的图象如图所示:观察图象可知,函数y=tan x与y=sin x在区间0,2上有3个交点.答案:32.是否存在实数a,且aZ,使得函数y=tan-ax在x上是单调递增的?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】存在.因为y=tan 在区间k-,k+(kZ)上是单调递增的,所以a0.又x,所以-ax,所以-ax,所以解得-a6-8k(kZ).令k=0,得-a6不符合题意,令k=-1,得a14不符合题意,令k=1,此时-2a-2,所以a=-20,所以存在a=-2Z,满足题意.