1、2015-2016学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）来源:学_科_网Z_X_X_K一.选择题来源:学,科,网Z,X,X,K1已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|x1|+|x2|2，则（UA）B=( )ABx|x1Cx|x1Dx|0x12执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=( )A2B3C4D53已知mR，“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在（0，+）上为减函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知函数y=f（x）的导函数为f（x），且，则=( )ABCD5若把函数f（x）=sinx的图象向左平移个单位，
2、恰好与函数y=cosx的图象重合，则的值可能是( )ABCD6已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+xm有零点的实数m的取值范围是( )A0，1）B（，1）C（，1（2，+）D（，0（1，+）7设m=3（x2+sinx）dx，则多项式（x+）6的常数项为( )ABCD8已知f（x）=，若|f（x）|ax在x1，1上恒成立，则实数a的取值范围是( )A1，0B（，1C0，1D（，01，+）二.填空题9复数z满足（1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则复数z=_10如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为_11已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a
3、的取值范围是_12直线l：（t为参数），圆C：=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为_13如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE交AD延长线于E，使BD平分EBC（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长来源:学&科&网Z&X&X&K14在边长为1的正三角形ABC中，若，则的值为_三.解答题15（13分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，xR求：（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）求函数f（x）在区间上的值域16（13分
4、）某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为，且P（=0）=，求：（1）植树小组的人数；（2）随机变量的数学期望17（13分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2ba（I）求角C的大小；（）若b=a，ABC的面积A，求a、c的值18（13分）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（）求函数f（x），g（x）的解析式；（）求函数f（x）在t，t+1（t3
5、）上的最小值；（）判断函数F（x）=2f（x）g（x）+2零点个数19（14分）在数列an中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）anqan1（n2，q0）（）设bn=an+1an（nN*），证明bn是等比数列；（）求数列an的通项公式；（）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an+3与an+6的等差中项20（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x22ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=时，方程f（1x）=有实根，求实数b的最大值2015-2016
6、学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题1已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|x1|+|x2|2，则（UA）B=( )ABx|x1Cx|x1Dx|0x1【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域 【专题】集合【分析】求出两个集合，然后求解补集以及交集即可【解答】解：全集U=R，A=y|y=2x+1=y|y1，UA=y|y1B=x|x1|+|x2|2=x|，则（UA）B=x|x1故选：B【点评】本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力2执行右面的程序框图，若p=0.8，则输出的n=( )A2B3C4D5【考点】
7、循环结构 【专题】计算题【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求【解答】解：如果输入的p=0.8，由循环变量n初值为1，那么：经过第一次循环得到，n=2，满足s0.8，继续循环，经过第二次循环得到S=0.750.8，n=3，第三次循环，S=0.75+0.125=0.875，此时不满足s0.8，n=4，退出循环，此时输出n=4故选：C【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，利用循环即可3已知mR，“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在（0，+）上为减函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不
8、充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m1有零点，则f（0）=1+m1=m1，当m0时，函数y=logmx在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=logmx在（0，+）上为减函数，则0m1，此时函数y=2x+m1有零点成立，即必要性成立，来源:Zxxk.Com故“函数y=2x+m1有零点”是“函数y=logmx在（0，+）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的
9、性质求出等价条件是解决本题的关键4已知函数y=f（x）的导函数为f（x），且，则=( )ABCD【考点】导数的运算 【专题】导数的概念及应用【分析】先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可【解答】解：，f（x）=2f（）x+cosx，f（）=2f（）+cos，解得f（）=，故选：A【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题5若把函数f（x）=sinx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosx的图象重合，则的值可能是( )ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】函数的性质及应用【分析】把函数f（x）=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）
10、 的图象，而y=cosx=sin（+x），可得 =+2k，kz，结合所给的选项得出结论【解答】解：把函数f（x）=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）=sin（x+） 的图象而y=cosx=cos（x）=sin（+x），=+2k，kz观察所给的选项，只有=满足条件，故选D【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题6已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+xm有零点的实数m的取值范围是( )A0，1）B（，1）C（，1（2，+）D（，0（1，+）来源:学科网【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】作出函
11、数的图象并根据图象的交点及函数零点的判定定理即可得出【解答】解：函数g（x）=f（x）+xm的零点就是方程f（x）+x=m的根，作出h（x）=f（x）+x=的图象，观察它与直线y=m的交点，得知当m0时，或m1时有交点，即函数g（x）=f（x）+xm有零点故选D【点评】数形结合并掌握函数零点的判定定理是解题的关键7设m=3（x2+sinx）dx，则多项式（x+）6的常数项为( )ABCD【考点】二项式定理；微积分基本定理 【专题】综合题；二项式定理【分析】先由定积分求出m的值，再求解二项式展开式中的常数项，利用二项式的展开式的通项，令x的对应次数为0即可求出其常数项【解答】解：因为，则多项式为
12、=，它的展开式的通项公式为Tk+1=，令，求得k=2，来源:学,科,网Z,X,X,K所以展开式的常数项为故选D【点评】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题8已知f（x）=，若|f（x）|ax在x1，1上恒成立，则实数a的取值范围是( )A1，0B（，1C0，1D（，01，+）【考点】函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用【分析】数形结合：分别作出y=|f（x）|、y=ax的图象，由题意即可得到a的取值范围【解答】解：作出|f（x）|的图象如下图所示：因为|f（x）|ax在x1，1上恒成立，所以在1，1上|f（x）|的图象应在y=ax图象的上方，而y=ax表示
13、斜率为a恒过原点的动直线，由图象知：当直线y=ax从直线OA逆时针旋转到x轴时，其图象在|f（x）|的下方，符合题意所以有kAOa0，即1a0，故选A【点评】本题考查函数单调性，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力二.填空题9复数z满足（1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则复数z=1i【考点】复数相等的充要条件 【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（1+i）z=（1+i）2，z=（i1）=1i故答案为：1i【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10如图是一个
14、空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题【分析】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案【解答】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球所以长方体的体积为221=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键11已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是【考点】导数的几何意义 【专题】计算题；数形结合【分析】由导
15、函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tan，结合正切函数的图象求出角的范围【解答】解：根据题意得f（x）=，且k0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k1，又k=tan，结合正切函数的图象由图可得，故答案为：【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想12直线l：（t为参数），圆C：=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为0或2【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐
16、标方程 【专题】计算题【分析】化直线的参数方程为普通方程，化圆的极坐标方程为一般方程，由直线l被圆C截得的弦长为转化为圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求解实数a的值【解答】解：直线l：，由得，代入得直线l的方程为x+2y+（2a）=0，由=2，得=2cos2sin2=2cos2sin，所以圆的方程为x2+y2=2x2y，即（x1）2+（y+1）2=2，所以圆心为（1，1），半径若直线l被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离，又，即|1a|=1，解得a=0或a=2故答案为0或2【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标和直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式，是中档题13如图，A
17、，B，C是圆O上三个点，AD是BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE交AD延长线于E，使BD平分EBC（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长【考点】与圆有关的比例线段 【专题】直线与圆；推理和证明【分析】（1）连接BO并延长交圆O于G，连接GC，由已知条件推导出GBC+EBC=90，从而得到OBBE由此能证明BE是圆O的切线（2）由（1）知BDEABE，从而得到AEBD=ABBE，由此利用切割线定理能求出DE【解答】（1）证明：连接BO并延长交圆O于G，连接GC，DBC=DAC，又AD平分BAC，BD平分EBC，EBC=BAC又BGC=BAC，EBC
18、=BGC，GBC+BGC=90，GBC+EBC=90，OBBEBE是圆O的切线（2）由（1）知BDEABE，AEBD=ABBE，AE=6，AB=4，BD=3，由切割线定理得BE2=DEAE，【点评】本题考查圆的切线的证明，考查线段长的求法，是非曲直中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用14在边长为1的正三角形ABC中，若，则的值为3【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】由确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出的值【解答】解：由题意画出图象如右图：，D为BC的中点，则=（+）
19、，=，=（1），=，（+）（1）=，（1）+（1）=，（）+（1）=，（）111+（1）=，解得=3，故答案为：3【点评】本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题三.解答题15（13分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，xR求：（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）求函数f（x）在区间上的值域【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性 【专题】三角函数的求值【分析】（I）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）先确定，再求函数f（x）
20、在区间上的值域【解答】解：（ I）：=最小正周期，时f（x）为单调递增函数f（x）的单调递增区间为（ II），由题意得：，f（x）1，4f（x）值域为1，4（13分）【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题16（13分）某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为，且P（=0）=，求：（1）植树小组的人数；（2）随机变量的数学期望【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差 【专题】综合题【
21、分析】（1）设植树小组共有x人，两品种均栽培的有（8x）人，则恰栽一品种的人数为（2x8）人，利用P（=0）=，建立方程，即可求得植树小组的人数；（2）先确定恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人，计算=1，2时的概率，即可求得数学期望【解答】解：（1）设植树小组共有x人，两品种均栽培的有（8x）人，则恰栽一品种的人数为（2x8）人P（=0）=，整理为：3x228x+60=0，x=6，即植树小组有6人来源:学_科_网（2）依（1）有：恰栽一品种的有4人，两品种均栽培的有2人P（=1）=；P（=2）=E=+2=【点评】本题考查离散型随机变量的概率与期望，解题的关键是正确求出概率，利用期望公式求
22、解17（13分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2ba（I）求角C的大小；（）若b=a，ABC的面积A，求a、c的值【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sin（A+C）=sinB代入，整理求出cosC的值，即可确定出角C的大小；（）利用三角形面积公式列出关系式，把b=a，sinC以及已知面积相等求出的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可【解答】解：（I）由2ccosA=2ba，利用正弦定理化简得：2sinCcosA=2sinBsinA，即2sinCcosA=2sin（A+C）sinA，整理得：2sin
23、CcosA=2sinAcosC+2cosAsinCsinA，即2sinAcosCsinA=0，分解得：sinA（2cosC）=0，sinA0，cosC=，则C=；（）b=a，C=，SABC=absinC=a2，SABC=sin2A，sin2A=a2，即=sinA，整理得：=2，由正弦定理=2，即c=2sinC=1，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即1=a2+3a23a2，解得：a=1【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（13分）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=
24、0处有相同的切线（）求函数f（x），g（x）的解析式；（）求函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（）判断函数F（x）=2f（x）g（x）+2零点个数【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（）F（x）=4ex（x+1）x24x，求导，确定F（x）在（，2），（ln2，+）上单调递增，在（2，ln2）上单调递减，即可得出结论【解
25、答】解：（） f（x）=aex（x+2），g（x）=2x+b由题意，两函数在x=0处有相同的切线f（0）=2a，g（0）=b，来源:学科网ZXXK2a=b，f（0）=a=g（0）=2，a=2，b=4，f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2（）f（x）=2ex（x+2），由f（x）0得x2，由f（x）0得x2，f（x）在（2，+）单调递增，在（，2）单调递减t3，t+12当3t2时，f（x）在t，2单调递减，2，t+1单调递增，当t2时，f（x）在t，t+1单调递增，；（）由题意F（x）=4ex（x+1）x24x求导得F（x）=4ex（x+1）+4ex2x4=2（x+2）（2ex1
26、），由F（x）0得xln2或x2，由F（x）0得2xln2F（x）在（，2），（ln2，+）上单调递增，在（2，ln2）上单调递减F（4）=4e4（4+1）16+16=12e40故函数F（x）=2f（x）g（x）+2只有一个零点（13分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）在数列an中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）anqan1（n2，q0）（）设bn=an+1an（nN*），证明bn是等比数列；（）求数列an的通项公式；（）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任
27、意的nN*，an是an+3与an+6的等差中项【考点】等比关系的确定；等差数列的性质；数列递推式 【专题】综合题【分析】（）整理an+1=（1+q）anqan1得an+1an=q（anan1）代入bn中进而可证明bn是等比数列（）由（）可分别求得a2a1，a3a2，anan1，将以上各式相加，答案可得（）由（），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，判断q1根据a3是a6与a9的等差中项，求得q用q分别表示出an，an+3与an+6进而根据等差中项的性质可得结论【解答】解：（）证明：由题设an+1=（1+q）anqan1（n2），得an+1an=q（anan1），即bn=qbn1，n2
28、又b1=a2a1=1，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列（）由（）a2a1=1，a3a2=q，anan1=qn2，（n2）将以上各式相加，得ana1=1+q+qn2（n2）所以当n2时，上式对n=1显然成立（）由（），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1由a3a6=a9a3可得q5q2=q2q8，由q0得q31=1q6，整理得（q3）2+q32=0，解得q3=2或q3=1（舍去）于是另一方面，由可得anan+3=an+6an，nN*所以对任意的nN*，an是an+3与an+6的等差中项【点评】本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考
29、查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法20（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x22ax（aR）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=时，方程f（1x）=有实根，求实数b的最大值【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性 【专题】计算题；压轴题来源:Zxxk.Com【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间3，+）上恒成立，当a=0时，容易检验是否符合题意，当a0时，由题意可得必须有2ax+10对x3恒成立，则a0
30、，从而2ax2+（14a）x（4a2+2）0对x3，+0上恒成立考查函数g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得问题转化为b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2x3的值域方法1：构造函数g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+xx2）求导可得g（x）=lnx+1+2x3x2由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，
31、即g（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x0时，lnx+0，则g（x）0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=因为x=2为f（x）的极值点，所以f（2）=0即，解得a=0又当a=0时，f（x）=x（x2），从而x=2为f（x）的极值点成立（2）因为f（x）在区间3，+）上为增函数，所以在区间3，+）上恒成立当a=0时，f（x）=x（x2）0在3，+）上恒成立，所以f（x）在3，+）上为增函数，故a=0符合题意当a0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+10对x3恒成立，故只能a0，所以2ax2+（14a）x（4a2+2）0对x3，+）上恒成立令g（x）=2
32、ax2+（14a）x（4a2+2），其对称轴为，因为a0所以，从而g（x）0在3，+）上恒成立，只要g（3）0即可，因为g（3）=4a2+6a+10，解得因为a0，所以由可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为0，（3）若时，方程x0可化为，问题转化为b=xlnxx（1x）2+x（1x）=xlnx+x2x3在（0，+）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2x3的值域以下给出两种求函数g（x）值域的方法：来源:学科网方法1：因为g（x）=x（lnx+xx2），令h（x）=lnx+xx2（x0），则，所以当0x1，h（x）0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x1，h（x）0，从而
33、h（x）在（1，+上为减函数，（13分）因此h（x）h（1）=0而x1，故b=xh（x）0，因此当x=1时，b取得最大值0（14分）方法2：因为g（x）=x（lnx+xx2），所以g（x）=lnx+1+2x3x2设p（x）=lnx+1+2x3x2，则当时，p（x）0，所以p（x）在上单调递增；当时，p（x）0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g（x0）=0，当0xx0时，g（x）0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；当x0x1，g（x）0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；又因为，当x0时，lnx+0，则g（x）0，又g（1）=0因此当x=1时，b取得最大值0（14分）【点评】本题主要考查了利用函数的导数求解函数极值的应用，及利用函数的导数研究函数的单调性及函数的最值的求解，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力