1、2020-2021学年北京市海淀区清华志清中学高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1集合AxZ|2x2的子集个数为（）A4B6C7D82设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3设函数f（x），则f（f（3）（）AB3CD4下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）AyxBy2xCylogxDy5在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC（）ABCD6将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）ABCD7已知a0.31.5，blog1.50.3，c1.50.3，则（）Aabc
2、BbacCacbDbca8若sin，则cos2（）ABCD9函数f（x）sin2（2x）的最小正周期是（）ABCD210函数f（x）的零点个数为（）A0B1C2D3二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11命题p：“x0，都有exx+1”，则命题p的否定为 12已知函数f（x）lgx，若f（ab）1，则f（a2）+f（b2） 13已知二次函数f（x）x2ax+4，若f（x）是偶函数，则实数a的值为 14设x，yR且x+y5，则3x+3y的最小值是 15已知sin+cos1，cos+sin0，则sin（+） 三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分）16已知函数f（x）2sinxcos
3、x+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间17已知在ABC中，c2bcosB，（1）求B的大小；（2）若，求BC边上的中线长度18已知函数f（x）（1）若a0，求yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）在x1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值19某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级已知甲同学能答对其中的5道题（1）设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：（2）求甲同学能晋级的概率参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1集合AxZ|2
4、x2的子集个数为（）A4B6C7D8解：AxZ|2x21，0，1，集合A的子集个数为238个，故选：D2设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：因为a，b都是实数，由ab，不一定有a2b2，如23，但（2）2（3）2，所以“ab”是“a2b2”的不充分条件；反之，由a2b2也不一定得ab，如（3）2（2）2，但32，所以“ab”是“a2b2”的不必要条件故选：D3设函数f（x），则f（f（3）（）AB3CD解：函数f（x），f（3），f（f（3）（）2+1故选：A4下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）A
5、yxBy2xCylogxDy解：在（0，+）上单调递增，和在（0，+）上都是减函数故选：A5在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC（）ABCD解：根据正弦定理，则故选：B6将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）ABCD解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为ycos（3x+）sin（3x+），故选：D7已知a0.31.5，blog1.50.3，c1.50.3，则（）AabcBbacCacbDbca解：0a0.31.50.301，blog1.50.3log1.510，c1.50.31.501，bac故选：B8若sin，则cos2（）ABCD解：si
6、n，cos212sin212故选：B9函数f（x）sin2（2x）的最小正周期是（）ABCD2解：f（x）sin2（2x）cos4x即4T故选：B10函数f（x）的零点个数为（）A0B1C2D3解：当x0时，由f（x）0得x2+2x30，解得x1或x3，函数的零点是x3，当x0时，由f（x）0得2+lnx0，即lnx2，解得xe2所以函数f（x）的零点个数为2个故选：C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11命题p：“x0，都有exx+1”，则命题p的否定为x00，使得ex0+1解：命题p：“x0，都有exx+1”，则命题p的否定为：“x00，都有ex0+1”故答案为：x00，都有ex
7、0+112已知函数f（x）lgx，若f（ab）1，则f（a2）+f（b2）2解：函数f（x）lgx，f（ab）lg（ab）1，f（a2）+f（b2）lga2+lgb2lg（ab）22lg（ab）2故答案为：213已知二次函数f（x）x2ax+4，若f（x）是偶函数，则实数a的值为 0解：二次函数f（x）x2ax+4是偶函数，f（x）f（x），即x2+ax+4x2ax+4，即aa，解得a0故答案为：014设x，yR且x+y5，则3x+3y的最小值是解：由3x0，3y0，3x+3y2 18 所以3x+3y的最小值为18 故答案为：15已知sin+cos1，cos+sin0，则sin（+）解：sin
8、+cos1，两边平方可得：sin2+2sincos+cos21，cos+sin0，两边平方可得：cos2+2cossin+sin20，由+得：2+2（sincos+cossin）1，即2+2sin（+）1，2sin（+）1sin（+）故答案为：三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分）16已知函数f（x）2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调递增区间解：f（x）2sinxcosx+cos2x，sin2x+cos2x，由于函数的最小正周期为，则：T，解得：1（2）由（1）得：函数f（x），令（kZ），解得：（kZ），所以函数的单调递增区间为：（
9、kZ）17已知在ABC中，c2bcosB，（1）求B的大小；（2）若，求BC边上的中线长度解：（1）c2bcosB，由正弦定理可得sinC2sinBcosB，即sinCsin2B，当C2B时，B，即C+B，不符合题意，舍去，C+2B，2B，即B（2）面积为，AB，ab，SABCabsinCa2，解得a，由题意，如图，设BC边上的中线为AD，则由余弦定理可得AD2AC2+CD22ACCDcos3+，可得AD18已知函数f（x）（1）若a0，求yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）在x1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值解：（1）f（x）的导数为f（x），可
10、得yf（x）在（1，1）处的切线的斜率为4，则yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y14（x1），即为y4x+5；（2）f（x）的导数为f（x），由题意可得f（1）0，即0，解得a4，可得f（x），f（x），当x4或x1时，f（x）0，f（x）递增；当1x4时，f（x）0，f（x）递减函数yf（x）的图象如右图，当x，y0；x+，y0，则f（x）在x1处取得极大值1，且为最大值1；在x4处取得极小值，且为最小值所以f（x）的增区间为（，1），（4，+），减区间为（1，4）；f（x）的最大值为1，最小值为19某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级已知甲同学能答对其中的5道题（1）设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：（2）求甲同学能晋级的概率解：（1）甲同学答对题目的数量X的可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），X的分布列为： X 01 2 3 P E（X）（2）甲同学能晋级的概率为：PP（X2）+P（X3）