1、课时素养评价 十七余弦定理、正弦定理的应用 (20分钟35分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l=70(n mile).【补偿训练】已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120,则A、C两地的距离为 ()A.10 km
2、B. kmC.10 kmD.10 km【解析】选D.在ABC中,AB=10 km,BC=20 km,ABC=120,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=100+400-21020cos 120=100+400-21020=700,所以AC=10 km,即A、C两地的距离为10km.2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45和30,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100米B.50米C.50米D.50米【解析】选C.设AB=h,在ABC中ACB=45,BC=h,在ADB中,tanADB=,解得h=50米.3.如图所示,两座
3、相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30B.45C.60D.75【解析】选B.依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理的推论得,cos CAD=,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.4.(2020西安高一检测)甲船在岛B的正南A处,AB=6 km,甲船以每小时4 km的速度向正北方向航行,同时乙船自B出发以每小时3 km的速度向北偏东60的方向驶去,甲、乙两船相距最近的距离是_km.【解析】假设经过x小时两船相距最
4、近,甲、乙分别行至C,D,如图所示,可知BC=6-4x,BD=3x,CBD=120,CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(6-4x)2+9x2+2(6-4x)3x=13x2-30x+36.当x=时甲、乙两船相距最近,最近距离为km.答案:5.(2020济南高一检测)如图,-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15的方向上,仰角为,若=45,则此山的高度CD=_米,仰角的正切值为_.【解析】设山的高度CD=x米,由题可得CAB=45,ABC=105,AB=300米, CBD=45.在AB
5、C中,可得:ACB=180-45-105=30,利用正弦定理可得=,解得CB=300(米),AC=150(米).在RtBCD中,由CBD=45可得:x=CB=300(米),在RtACD中可得tan =-1.答案:300-16.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处,此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由已知A2B2=10 海里,A1A2=30=10 (海里),所以A1A
6、2=A2B2.又A1A2B2=60,所以A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2=10 海里.由已知,A1B1=20 海里,B1A1B2=180-75-60=45,在A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1A1B2cos 45=202+(10)2-22010=200,所以B1B2=10 海里.因此,乙船的速度为60=30(海里/时).所以乙船每小时航行30海里. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020杭州高一检测)某船开始看见灯塔A时,灯塔A在船南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行45 km后,看见灯塔A在船正西方向,则这时船与灯塔A
7、的距离是()A.15 kmB.30 kmC.15 kmD.15km【解析】选D.设灯塔位于A处,船开始的位置为B,船行45 km后处于C,如图所示,可得DBC=60,ABD=30,BC=45,所以ABC=30,BAC=120,在三角形ABC中利用正弦定理可得:=,可得AC=15 km.2.(2020启动高一检测)如图,某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行.在A处观测地面目标A,测得俯角BAP=30.经2分钟飞行后在B处观测地面目标P,测得俯角ABP=60.又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P,测得俯角BCP=且cos =,则该侦察飞机由B至C的飞行时间为()A.1.25分钟B.1.5分钟
8、C.1.75分钟D.2分钟【解析】选B.设飞机的飞行速度为v,根据飞机的飞行图形,测得俯角BAP=30,经过2分钟飞行后在B处观测地面目标P,测得俯角为ABP=60,所以ABP为直角三角形,过点P作PDAC于点D,则AB=2v,AP=v,BP=v,解得DP=,设CB=xv,因为cos =,可得sin =,所以tan =,在直角PCD中tan =,解得x=1.5,即该侦察飞机由B至C的飞行时间为1.5分钟.3.在某个位置测得某山峰仰角为,对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4,则该山峰的高度为()A.200 mB.300 mC.400 mD
9、.100 m【解析】选B.由题意得如图,则BED,BDC均为等腰三角形,BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.方法一:在BCD中,由余弦定理的推论可得cos 2=,又因为02180,所以2=30,4=60.在RtABC中,AB=BCsin 4=200=300(m).方法二:由于BCD是等腰三角形,BD=DCcos 2,即300=200cos 2,所以cos 2=,又020),所以S=m2=6,解得m=2,所以ABC的周长为a+b+c=4+6+2=10+2,A正确;由余弦定理得cos C=,又C(0,),所以C=,B正确;由正弦定理知外接圆直径为2R=,C正确;由中线定理得a2+b2=
10、c2+2CD2,即CD2=19,所以CD=,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示,没有完全断开),树干与地面成75角,折断部分与地面成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是_米(结果保留根号).【解题指南】根据题意,画出示意图,大树原来的高度分为两部分,利用正弦定理或余弦定理分别求出两部分的长度,求和即为大树原来的高度.【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则AOB=75,ABO=45,
11、所以OAB=60.由正弦定理知,=,所以OA=米,AB=米,所以OA+AB=(5+5)米.答案:(5+5)8.(2020潍坊高一检测)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12千米,渔船乙以10千米/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.则渔船甲的速度为_,sin =_.【解析】由已知得AB=12千米,AC=20千米,BAC=120,所以BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220=784,所以BC=28千米,所以渔船甲的速度v甲=14(千米/时).在ABC中,BCA=,由正弦定
12、理得=,所以=,所以sin =.答案:14千米/时四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45方向,此人向北偏西75方向前进 km到达D处,看到A在他的北偏东45方向,B在北偏东75方向,试求这两座建筑物之间的距离.【解析】依题意得,CD= km,ADB=BCD=30=BDC,DBC=120,ADC=60,DAC=45.在BDC中,由正弦定理得BC=(km).在ADC中,由正弦定理得AC=3(km).在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=(3)2+()2-23cos 45=25.所以AB=5 km,
13、故这两座建筑物之间的距离为5 km.10.(2020南通高一检测)根据国际海洋安全规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外),在公海上的安全距离为20 mile(即距离不得小于20 mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60的直航线XX, YY,交点是O,现有两国的军舰甲、乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30 mile,OB=10 mile,后来军舰甲沿XX的方向,乙军舰沿YY的方向,同时以40 mile/h的速度航行.(1)起初两军舰的距离为多少?(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.【解析】(1)连接AB,在ABO中,由余弦定
14、理得AB=10.所以起初两军舰的距离为10 mile.(2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到C,D,连接CD,当0时,CD=10,所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离CD=10(t0),因为CD=10=10,因为t0,所以当t=时,甲、乙两军舰距离最小为20 mile.所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定.我国古代数学家刘徽在其海岛算经中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度50
15、0多年,领先欧洲1300多年.其大意为:测量望海岛PQ的高度及海岛离岸距离,在海岸边立两根等高的标杆AB,CD(PQ,AB,CD共面,均垂直于地面),使目测点E与P,B共线,目测点F与P,D共线,测出AE,CF,AC即可求出岛高和距离(如图).若AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,则PQ=_;EQ=_.【解析】设AEB=,CFD=,则tan =,tan =,在PEF中,=,所以PE=,所以PQ=PEsin = =,EQ=PEcos =.答案:【补偿训练】在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡角为15的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为10 m,则旗杆的高度为_m.【解析】如图,设旗杆高为h m,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC=h.在ABC中,AB=10,CAB=45,ABC=105,所以ACB=30,由正弦定理,得=,故h=30.答案:30