1、2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A B C D【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A B C D 【答案】A【解析】试题
2、分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A6 B7 C8 D23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A B C D【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A B C D4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱
3、柱与四棱锥组合而成，.考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，这里结束循环，输出结果为B.考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：由已知得，所以，所以.考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC中，平面，则该四面体的外接球的表面积为（）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：设的外心为，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有，所以.考点：球与多面体
4、，球的表面积.11.已知F是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是（）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：设，由消去得，则，又，由已知，由得，代入得（在第一象限）.考点：直线和抛物线位置关系.12.设函数，记，则下列结论正确的是（）A B C D 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，且与共线，则x的值为 【答案】【解析】试题分析：，由与共线得，解得考点：向量的共线14.已知，则 【答案】8【解析】试题分析：，.考点：二项式定理.15.设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线
5、上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为 【答案】【解析】试题分析：，令，即，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在中，角的对
6、边分别为，且满足（1）求角B的大小； （2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1） 1分 3分 5分 6分 (2) 由得a c48分. 由余弦定理得b2a2c2+ac10分 ac 12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分） 4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校
7、随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？ （2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X0123P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）
8、根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知XB（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差.试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100 3分8.2498.249 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知XB（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）8分从而分布列为X0
9、123P. 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分） 已知平面.（1）求证：平面； （2）M为线段CP上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其
10、它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角.试题解析：（1）证明：因为PA平面ABCD，PA平面ADP，所以平面ADP平面ABCD. 2分又因为平面ADP平面ABCD=AD，CDAD，所以CD平面ADP. 4分 （2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A（0，0，0），B（0，0，1）， C（4，0，4），P（0，4，0），则，.6分z x y 设M（x, y , z), ，则.所以，.因为BMAC，所以，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BHAC于H，在平面ACP内过点H作HMAP交PC于点M，连接MB
11、6分，因为AP平面ABCD，所以HM平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HMAC.又BHHM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC平面BHM.所以ACBM，点M即为所求点. 8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HMAP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MNCD交DP于点N，则在中， .因为ABCD，所以MNBA.连接AN，由（1）知CD平面ADP，所以AB平面ADP.所以ABAD，ABAN.所以DAN为二面角CABM的平面角.10分在中，过点N作NSPA交DA于S，则，所以AS=，所以NA=.所以. 所以二面角CABM的余弦值为. 12分考点：线面垂直，二面角.20.（本
12、小题满分12分） 已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程； （2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或. 【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，同时有；从而有 ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，因为直线于直线垂直，所以得 ，结合，由条件可得，其中，为点到直线的距离，由引可求得
13、，.试题解析：（1）由1题意得，解得，所以椭圆的方程是 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，由； 6分设的中点为，则，因为直线于直线垂直，所以得 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得， 10分由和解得，直线的方程为或. 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以 ，由题意，式式得 又因为直线与直线垂直，所以由解得 6分因为所以,所以， 8分 设直线的方程设为，联立消去得，由 10分，解得，满足.由得直线的方程为或. 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分） 已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间； （2）
14、若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 .10分 所以，由于式等价于.故整数的最大值为2. .12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆； （2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分
15、析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，因为，所以，.2分又因为，则，所以四点共圆.5分（2）因为 和是的两条割线，所以，7分因为四点共圆,所以，又因为，则，所以，即则.10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程； （2）求直线的曲线交点的极坐标（）
16、【答案】（1）；（2） ，【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，2分将代入得.4分（2）方法一：的普通方程为.6分由解得：或8分所以与交点的极坐标分别为： ，.10分方法二：由，6分得：，又因为8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.（1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围.试题解析：（1）当时，无解，3分综上，不等式的解集为.5分（2），转化为，令，因为a0,所以，8分在a0下易得,令得10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.
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