1、第二章 统计22.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征考点学习目标核心素养众数、中位数、平均数、标准差、方差会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差数学抽象估计总体数字特征理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法数据分析实际问题会应用相关知识解决简单的统计实际问题数据分析、数学建模、数学运算第二章 统计问题导学(1)什么是众数、中位数、平均数、方差、标准差？(2)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？(3)方差与标准差的联系与区别是什么？1众数、中位数、平均数的概念(1)众数：在一组数据中，出现_最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数若有两个或两个以
2、上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数次数(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数(3)平均数：指样本数据的算术平均数即 x_2标准差与方差(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示，计算时通常用公式s_显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小最中间1n(x1x2xn)1n（x1 x）2（x2 x）2（xn x）2(2)方差：标准差 s 的平方 s2，即s2_叫做这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测
3、量样本数据的分散程度的特征数3平均数、方差的性质若 x1，x2，x3，xn 的平均数为 x，方差为 s2 那么 ax1b，ax2b，ax3b，axnb 的平均数为 xa xb；方差 s2a2s2.众数、中位数、平均数、方差(标准差)特征数的含义：它们都是描述一组数据集中趋势的量1n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2名师点拨(1)众数：体现了样本数据最大集中点，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题(2)中位数：它与样本数据的排列位置有关，不受样本中某些极端值的影响，它可能在所给的样本数据中，也可能不在其中(3)平均数：它与样本中每一个数据都有关系，它反映数据的平均值，
4、但极易受极端值的影响(4)方差(标准差)：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小，方差(标准差)越大(小)，则样本数据的离散程度越大(小)判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)数据 5，4，4，3，5，2 的众数为 4.()(2)数据 2，3，4，5 的标准差是数据 4，6，8，10 的标准差的一半()(3)方差与标准差具有相同的单位()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变()解析：(1)中的众数应为 4 和 5；(2)正确；(3)二者单位不一致；(4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变 答案：(1)(2)(3)(4)(2017高考全国卷)为评估一种农作
5、物的种植效果，选了 n块地作试验田这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()Ax1，x2，xn 的平均数Bx1，x2，xn 的标准差Cx1，x2，xn 的最大值Dx1，x2，xn 的中位数解析：选 B.标准差能反映一组数据的稳定程度故选 B.下列说法中正确的个数为()数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定A1 B2C3 D4解析：选 C.由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影
6、响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故不正确，正确已知五个数据 3，5，7，4，6，则该样本的标准差为_解析：因为 x15(35746)5，所以 s15（35）2（65）2 2.答案：2某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资(元)22 0002 5002 2002 0001 000 29 700人数16510123合计22 00015 00011 00020 000 1 000 69 000(1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数；(2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？众数、中位数、平均数的计算及应用【解】(1)由表
7、格可知，众数为 2 000 元 把 23 个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第 12 个数，其值为 2 200，故中位数为 2 200 元 平均数为(22 00015 00011 00020 0001 000)2369 000233 000(元)(2)虽然平均数为 3 000 元/月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策(2
8、)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心 (2019四川省宜宾市教学质量监测)某校高二年级学生身体素质考核成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示：(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均数解：(1)因为 10(2a3a6a7a2a)1，所以 a0.005.(2)由图可知众数的估计值为 75，平均数的估计值 x550.1650.15750.35850.3950.176.5.甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取 6 件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99
9、 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定标准差、方差的计算及应用【解】(1)x甲16(9910098100100103)100，x乙16(9910010299100100)100，s2甲16(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)273，s2乙16(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)由(1)知 x甲 x乙，比较它们的方差，因为 s2甲s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定用样本
10、的标准差、方差估计总体的方法(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况(2)标准差、方差的取值范围是0，)(3)因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种
11、玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？解：(1)x甲 110(25414037221419392142)11030030(cm)，x乙 110(27164427441640401640)11031031(cm)所以 x甲 x乙 即乙种玉米苗长得高(2)s2甲 110(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2 110(2512110049642561218181144)1101 042 104.2(cm2)，s2乙 1102(2731)23(1631)22(4431)23(4031)2 1101 2
12、88128.8(cm2)所以 s2甲s2乙.即甲种玉米苗长得齐从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图统计图中的数字特征由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数；(2)这 50 名学生的平均成绩【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为 75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横
13、坐标所对应的成绩即为所求 因为 0.004100.006100.0210 0.040.060.20.3，所以前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为0.03100.3，0.30.30.5，所以中位数应位于第四个小矩形内 设其底边为 x，高为 0.03，所以令 0.03x0.2，得 x6.7，故中位数应约为 706.776.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可 所 以 平 均 成 绩 为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.03 10)85(0.02410)
14、95(0.01610)76.2.(1)频率分布直方图的数字特征众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标；中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和(2)频率分布折线图、条形图中的数字特征这两种图中的数字特征都与图的横纵坐标的统计意义有关 可根据图中的折点(或条形图中每条的横纵坐标)得出相应的样本数据，然后按公式定义得出特征数据；也可根据图形的趋势大体估计出样本的数据特征 1样本数为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形图如图所示，
15、则标准差最大的一组是()A第一组 B第二组C第三组D第四组解析：选 D.法一：第一组中，样本数据都为 5，标准差为 0；第二组中，样本数据为 4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为 63；第三组中，样本数据为 3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为2 53；第四组中，样本数据为 2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组 法二：从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案2甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示(1)分别求出两
16、人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价解：(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.x甲1013121416513，x乙1314121214513，s2甲15(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s2乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由 s2甲s2乙可知乙的成绩较稳定 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高1一组数据的方差一定是(
17、)A正数 B负数C任意实数D非负数解析：选 D.方差可为 0 和正数2对于数据 3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列结论：这组数据的众数是 3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的数值相等其中正确的结论的个数为()A1 B2C3 D4解析：选 A.在这 11 个数中，数 3 出现了 6 次，频率最高，故众数是 3；将这 11 个数按从小到大顺序排列得 2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间数据是 3，故中位数是 3；而平均数 x22366210114.故只有正确3(2019陕西省西安市期末考试)如图是两组各
18、 7 名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图，设 1、2 两组数据的平均数依次为x1 和 x2，标准差依次为 s1、s2，那么()(注：标准差s1n（x1 x）2（x2 x）2（xn x）2)A x1 x2，s1s2B x1 x2，s1s2C x1 x2，s1s2D x1s2解析：选 C.读取茎叶图得到两组数据分别为 1 组：53，56，57，58，61，70，72；2 组：54，56，58，60，61，72，73.x15017(3678112022)61(kg)，x25017(46810112223)62(kg)，s117（5361）2（5661）2（7261）2 3167，s217（5462）2（5662）2（7362）2 3427，则 x1 x2，s1s2.故选 C.4(2019河北省石家庄市期末考试)某校 100 名高二学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100(1)求图中 a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分解：(1)依题意，得 10(20.005a0.030.04)1，解得 a0.02.(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为 550.05650.4750.3850.2950.0573(分)本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放