1、2019-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练一、选择题1.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（）A.3B.12C.18D.362.矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角3.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）A.B.2 C. +1D.2 +14.如图，在正方形ABCD中，ABE和CDF为直角三角形，AEB=CFD=90，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）A.7B.8C.7
2、D.7 5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）A.5B.5 C.6D.6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）A.B.2C.D.7.如图，在正方形ABCD中，ABE经旋转，可与CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（ ） A.AMFCB.BFCFC.BE=CED.FM=MC8.有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则 A：B等于（ ）A.1： B.1:2C.2:3D.4:99.如图，在四边形ABCD中，ADC
3、ABC90，ADCD，DPAB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )A.3B.2 C.3 D.3 10.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )A.B.C.D.二、填空题11.如图,已知P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4 ,则PC的最大值是_；12.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：BE=DF，AG=2GC，BE+DF=EF，SCEF=2SABE
4、正确的有_（只填序号）13.在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_14.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为_15.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BGEF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=_ 16.在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，EFAE交BC于点F，且F为BC的中点，若AB=4，则EF=_三、解答题17.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AFBE于F，CGBE于G（1）若FAE=20
5、，求DCG的度数； （2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想 18.已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且CBE：BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形 19.如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2 cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由 （2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积为52cm2？ 20.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上
6、一点，点P是对角线BD上一点，且PEPC（1）求证：PCPE； （2）若BE2，求PB的长. 21.如图，在四边形纸片ABCD中，B=D=90，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，EAF=45（1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半； （3）若EC=FC=1，求AB的长度 答案解析部分一、选择题 1.【答案】C 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，AB=BC，OA=OC，AB= ，正方形的面积= ，故选C【分析】根据正方形的性质
7、和正方形的面积解答即可2.【答案】A 【考点】菱形的性质，矩形的性质 【解析】【解答】解： 矩形的对角线互相平分、相等，菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，故答案为：A【分析】从矩形和菱形的对角线的性质去解答此题。3.【答案】B 【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：正方形ABCD的面积为1，BC=CD= =1，BCD=90，E、F分别是BC、CD的中点，CE= BC= ，CF= CD= ，CE=CF，CEF是等腰直角三角形，EF= CE= ，正方形EFGH的周长=4EF=4 =2 ；故答案为：B【分析】根据正方形ABCD的面积
8、，求出边长，由E、F分别是BC、CD的中点，由正方形的性质，得到CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周长.4.【答案】C 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：如图所示：四边形ABCD是正方形，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AB=BC=CD=AD，BAE+DAG=90，在ABE和CDF中， ，ABECDF（SSS），ABE=CDF，AEB=CFD=90，ABE+BAE=90，ABE=DAG=CDF，同理：ABE=DAG=CDF=BCH，DAG+ADG=CDF+ADG=90，即DGA=90，同理：CHB=90，在ABE和ADG中， ，ABEADG（A
9、AS），AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，EG=GF=FH=EF=125=7，GEH=18090=90，四边形EGFH是正方形，EF= EG=7 ；故答案为：C【分析】由正方形的性质得出BAD=ABC=BCD=ADC=90，AB=BC=CD=AD，由SSS证明ABECDF，得出ABE=CDF，证出ABE=DAG=CDF=BCH，由AAS证明ABEADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果5.【答案】D 【考点】正
10、方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3，AE=3，AB=5，DE= ，故PB+PE的最小值是 故答案为：D.【分析】连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，利用正方形的性质可得出B、D关于AC对称，可得出PB=PD，因此求PB+PE的值就转化为求DE的长，利用勾股定理可解答。6.【答案】C 【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：如下图，连接AC、FC，四边形ABCD和四边形CEF
11、G都是正方形，AB=BC=1，EF=CE=3，A=E=90，ACD=GCF=45，AC= ，CF= ，ACF=ACD+GCF=90，AF= ，又点H是AF的中点，CH= AF= .故答案为：C.【分析】利用正方形的性质，可证得ACF是直角三角形，利用勾股定理分别求出AC、CF的长，再求出AF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CH的长。7.【答案】A 【考点】正方形的性质，旋转的性质 【解析】【解答】解：ABE经旋转，可与CBF重合， BAE=BCF，ABE=CBFBCF+BFC=90BFC+BAE=90FMA=90AMFC故选：A【分析】依据旋转的性质可知BAE=BCF
12、，然后可证明BFC+BAE=90，从而可得到问题的答案8.【答案】D 【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：如答图所示：设大正方形ABCD的边长为a，则小正方形BEFG的边长为 a，CE=BE=EF= a.AB=BC=a，B=90，AC= = = a，AM=HM=MJ=IJ=CJ= a，AH= AM= a= a，DH=AD-AH=a- a= a=DI，S1= DHDI= a a= a2 ， S2= CEEF= a a= a2 ， S1:S2= a2: a2=4:9.即A:B=4:9.故答案为：D.【分析】设大正方形ABCD的边长为a，可表示出小正方形BEFG的边长，利用勾股定理求
13、出AC的长，利用正方形的性质，可证得AM=HM=MJ=IJ=CJ，再用含a的代数式表示出AH、DH的长，然后用含a的代数式表示出S1和S2 ， 就可求出它们的比值。9.【答案】C 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图，过点D作DEDP交BC的延长线于E,ADC=ABC=90,四边形DPBE是矩形,CDE+CDP=90,ADC=90,ADP+CDP=90,ADP=CDE,DPAB,APD=90,APD=E=90,在ADP和CDE中, ,ADPCDE（AAS）DP=DE四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,矩形DPBE
14、是正方形,DP= 故答案为: 【分析】过点D作DEDP交BC的延长线于E，可证四边形DPBE是矩形，再证明ADPCDE，得出DP=DE，就可得出矩形DPBE是正方形，利用割补法可知四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，就可求出DP的长。10.【答案】A 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图，可得EPMEQN，四边形EPCQ是正方形，又EP/AB，EC=2AE ，则可得CP=2BP，则有BP= BC= a，S重叠部分=S正方形EPCQ= ；故答案为：A.【分析】过E作EPBC于点P，EQCD于点Q，EPMEQN，利用
15、四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解。二、填空题 11.【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【解答】解：如图，过点B作BEBP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE= PB=4 ，ABE=ABP+90,CBP=ABP+90，ABE=CBP，在ABE和CBP中， ，ABECBP(SAS)，AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A. P、E三点共线时AE最大，此时AE=AP+PE= ，所以,PC的最大值是 .故答案为： .【分析】过点B作BEBP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE=PB，再证出ABE=CBP，
16、然后利用“边角边”证明ABE和CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大。12.【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质 【解析】【解答】解：AEF为等边三角形，AE=AF，四边形ABCD为正方形，AB=AD，B=D=BAD=90，在RtABE和RtADF中RtABERtADF，BE=DF，所以正确；BAE=DAF，AC平分BAD，BAG=FAG，AG垂直平分EF，CG= EF，即EF=2CG，而EFAG，AG2CG，所以错误；EAG=30，BAE=15，BE
17、EG，BE+DF=2BE，EF=2EG，BE+DFEF，所以错误；延长CB到F使BF=DF，作EHAF于H，如图，易得ABFABE，EAF=30，设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，EH=x，SAFE= 2xx=x2 ， SCEF= x2x=x2 ， SCEF=2SABE ， 所以正确故答案为【分析】根据已知条件易证ABEADF，可得出BAE=DAF，BE=DF，可对作出判断；由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，可证得EF=2CG，由EFAG，可对作出判断；再证明BEEG，证得BE+DFEF，可对作出判断；设EC=x，BE=y，利用三角形的面积公式分别表示出S
18、CEF和2SABE ， 就可以得出SCEF=2SABE ， 可对作出判断。从而可得出答案。13.【答案】【考点】勾股定理，正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图,连接AE,因为点C关于BD的对称点为点A,所以PE+PC=PE+AP,根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,CE1，BE=2,ABBC3，在RtABE中，AE= ，PE+PC的最小值是 ；故答案是 。【分析】连接AE，根据正方形的性质，可知点C关于BD的对称点为点A，可得出PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短，可得AE就是AP+PE的最小值，再利用勾股定理求出AE的长，即可解答。14.
19、【答案】 【考点】勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O，作 于点H，P 是 的中点,PH是 的中位线， 中, , 是等腰直角三角形,即 同理 中, 在 中, 故答案为: 【分析】延长GE交AB于点O，作PHOE于点H，可证得PH是OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，然后在RtPGH中利用勾股定理求解。15.【答案】 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接BE、BF 四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=5，AE=1，AF=2，DE=4，DF=3，EF= =5，SBEF= EFBG=S正方形ABCDSABESBCFSDEF
20、 ， 5BG=25 51 52 34，BG= ，故答案为 【分析】如图，连接BE、BF首先利用勾股定理求出EF，再根据SBEF= EFBG=S正方形ABCDSABESBCFSDEF ， 列出方程即可解决问题16.【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：过点E作EMAD于M，交BC于N，如图，四边形ABCD为正方形，ADBC，BDM=45，MN=CD=4，ME=DM，设ME=x，则DM=x，AM=4x，NE=4x，AM=EN，F为BC的中点，FN=2x，EFAE，AEM=EFN，在AEM和EFN中 ，AEMEFN，ME=FN，即x=2x，解得x=1，
21、FN=1，EN=3，EF= = 故答案为 【分析】过点E作EMAD于M，交BC于N，根据正方形的性质，易证MN=CD=4，ME=DM，设ME=x，则DM=x，AM=4x，NE=4x，再表示出FN的长，然后证明AEMEFN，可得出ME=FN，就可求出x的值，得出FN、EN的长，利用勾股定理求出EF的长即可。三、解答题 17.【答案】（1）解：四边形ABCD是正方形， ABC=D=90，AFBE，CGBE，AFE=CGE=90，FAE=20，FED=FAE+AFE=20+90=110，DCG=360-D-FED-CGE=360-90-110-90=70（2）解：猜想：CG=AF+FG，证明：ABF
22、+CBG=90，CBG+BCG=90，ABF=BCG，在ABF和BCG中 ABFBCG（AAS），AF=BG，BF=CG，CG=BF=BG+FG=AF+FG 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得出ABC=D=90，根据三角形的外角定理求出FED的度数，再根据四边形内角和求得结论。（2）利用ABF+CBG=90，CBG+BCG=90，证得ABF=BCG，再证明ABFBCG，由全等三角形的性质证得BF=CG，AF=BG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论。18.【答案】（1）证明：在ADE与CDE中， ，ADECDE，ADE=CDE，ADBC，
23、ADE=CBD，CDE=CBD，BC=CD，AD=CD，BC=AD，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，四边形ABCD是菱形（1）（2）证明：BE=BC，BCE=BEC，CBE：BCE=2：3，CBE=180 =45，四边形ABCD是菱形，ABE=45，ABC=90，四边形ABCD是正方形 【考点】菱形的判定与性质，正方形的判定 【解析】【分析】（1）先证明ADECDE，由全等三角形的性质可得ADE=CDE，由ADBC可得ADE=CBD，易得CDB=CBD，可得BC=CD，再证AD=BC，利用平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形。（2）
24、由BE=BC可得BEC为等腰三角形，可得BCE=BEC，利用三角形的内角和定理及CBE：BCE=2：3，可求出ABE的度数，就可证得ABC=90，由有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论。19.【答案】（1）解：四边形EFGH为正方形理由如下：设运动时间为t s，则AEBFCGDH2tcm，在正方形ABCD中，ABCD90，ABBCCDDA，BECFDGAH.在AEH和BFE中， ，AEHBFE，同理可证：AEHBFECGFDHG，EHFEGFHG，四边形EFGH为菱形AEHBFE，AEHBFE，而BFEBEF90，AEHBEF90，HEF90，四边形EFGH为正方形（2）解：设运动的时间为
25、x s，则AEBFCGDH2xcm.ABBCCDDA10cm，BECFDGAH(102x)cm.由勾股定理得S四边形EFGHEH2AE2AH2(2x)2(102x)28x240x100.当S四边形EFGH52 cm2时，8x240x10052，即x25x60，解得x12，x23.当x2时，AE2x22410；当x3时，AE2x23610.x2或3均符合题意故运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2. 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质 【解析】【分析】（1）设出运动时间，表示出AE，BF，CG，DH的长度，可知AE=BF=CG=DH，由题意即得出BE=CF=
26、DG=AH，再证明AEHBFECGFDHG，利用全等三角形的性质得出EHFEGFHG，可证四边形EFGH是菱形，通过求HEF=90即可推出结论。（2）设运动时间为x，依据勾股定理推出，EH2=AE2+AH2=8x2-40x+100，由S四边形EFGH=EH2=52，列出方程8x2-40x+100=52，解方程即可推出x的值，x的值需符合2x10，就可求出符合条件的x的值。20.【答案】（1）证明：过点P作PFAB，PGBC，垂足分别为点F、G. PFB=PGB=PGC=90, 四边形ABCD是正方形, A=ABC=90，AB=AD=BC, ABD=ADB=45，四边形FBGP是矩形, FPB=
27、90ABD=9045=45, ABD=FPB, FP=FB, 矩形FBGP是正方形, PF=PG，FPG=90, FPGEPG=90, EPPC, EPC=90, GPCEPG=90, FPG=GPC , FPG=GPC ，PF=PG，PFE=PGC,PFEPGC（ASA） PE=PC.（2）解：设EF=x. PFEPGC . GC=EF=x.由BE=2得：BF=x2.由正方形FBGP得：BG=x2. BC=6, BGGC=6. （x2）x=6,解得：x=2. PF=BF=22=4 ,PFB中，PFB=90，由勾股定理得： , PB0 答：PB的长为 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，
28、正方形的判定与性质 【解析】【分析】（1）过点P作PFAB，PGBC，垂足分别为点F、G，可得出 PFB=PGB=PGC=90，利用正方形的性质，可证得A=ABC=90，AB=AD=BC，再证明四边形FBGP是正方形，得出 PF=PG，FPG=90；然后利用ASA证明PFEPGC，利用全等三角形的性质就可证得结论。（2）设EF=x。由 PFEPGC 得出GC=EF=x，就可得出BG=x+2，再由BGGC=6，建立关于x的方程，求出x的值，就可得出PF的长，然后利用勾股定理求出PB的长。21.【答案】（1）证明：由题意得，BAE=EAG，DAF=FAG，BAD=2EAF=90，四边形ABCD是矩
29、形，AB=AG，AD=AG，AB=AD，四边形ABCD是正方形（2）证明：EG=BE，FG=DF，EF=BE+DF，ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半（3）解：EC=FC=1，BE=DF，EF= ，EF=BE+DF，BE=DF= EF= ，AB=BC=BE+EC= +1 【考点】正方形的判定，翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，可得出BAE=EAG，DAF=FAG，AB=AG，AD=AG，再由EAF=45，可得出BAD=90，然后就可证得四边形ABCD是矩形，继而可证得四边形ABCD是正方形。（2）先证明EF=BE+DF，由ECF的周长=EF+CE+CF转化为ECF的周长=BC+CD，可得出结论。（3）先利用勾股定理求出EF的长，再由EF=BE+DF及BE=DF，可得出BE的长，然后求出AB的长。
