1、2015-2016学年山东省淄博市高青一中高一（下）4月月考数学试卷一、选择题（共12题，每题5分）1若直线l平面，直线a，则l与a的位置关系是（）Ala Bl与a异面Cl与a相交 Dl与a平行或异面2已知平面上单位向量=（，），=（，），则下列关系式正确的是（）AB（+）（） C（+）（） D（+）3已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A B C4 D4如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A相交 B平行 C异面而且垂直 D异面但不垂直5一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A6+4
2、B12+4 C6+12 D12+126已知函数y=Acos（x+）+B的一部分图象如图所示，如果A0，0，|，则（）AA=4 B=1 CB=4 D=7将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）Ay=sin（2x） By=sin（2x+） Cy=sin（x+） Dy=sin（x+）8已知，sin+cos=，则sincos=（）A BC D9空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90，则MN=（）A10 B6 C8 D510设向量与的夹角为，定义
3、与的“向量积”：是一个向量，它的模|sin，若，则|=（）A B C2 D411如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（）A B9 C D912（理） 已知向量，向量，则向量与的夹角为（）A B C D二、填空题（共4题，每题5分）13过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有个14向量=（1，sin），=（cos，），R，则|的取值范围为15把一个半径为5cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为16如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成
4、体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=三、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分）17五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积18已知，（1）求的值；（2）求的夹角；（3）求19如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点，若，P为线段CD上的一点（P与D不重合），过M，N，P的平面交平面BCD于Q，求证：BDPQ20已知向量=34， =63， =（5m）（4+m），其中、分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ABC
5、为直角三角形，且A为直角，求实数m的值21已知向量，设函数，x0，（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）=0在区间0，上有两个不同的根，求cos（+）的值22如图，正三棱柱ABCA1B1C1，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB，当点M在何位置时，MB平面AEF？2015-2016学年山东省淄博市高青一中高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分）1若直线l平面，直线a，则l与a的位置关系是（）Ala Bl与a异面Cl与a相交 Dl与a平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】可从公共点的个数进行判断直线
6、l平面，所以直线l平面无公共点，故可得到l与a的位置关系【解答】解：直线l平面，所以直线l平面无公共点，所以l与a平行或异面故选D2已知平面上单位向量=（，），=（，），则下列关系式正确的是（）AB（+）（） C（+）（） D（+）【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，对选项中的结论分析、判断即可【解答】解：单位向量=（，），=（，），（+）（）=1212=0，（+）（），B正确故选：B3已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A B C4 D【考点】球的体积和表面积【分析】由AB=BC=CA=2，求
7、得ABC的外接圆半径为r，再由R2（R）2=，求得球的半径，再用面积求解【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以ABC的外接圆半径为r=设球半径为R，则R2（R）2=，所以R2=S=4R2=故选D4如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A相交 B平行 C异面而且垂直 D异面但不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则ABCE；DCE为异面直线AB，CD的夹角，并
8、且该角为60；AB，CD异面但不垂直故选：D5一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A6+4 B12+4 C6+12 D12+12【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是半圆柱与直三棱柱的组合体，根据三视图判断半圆柱的高及底面半径；判断直三棱柱的高为3及底面直角三角形的直角边长，把数据代入圆柱与棱柱的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是半圆柱与三棱锥的组合体，半圆柱的高为3，底面半径为2；三棱锥的高为2，底面三角形的两直角边长分别为3，4几何体的体积V=342+223=4+6故选：A6已知函数y=Acos（x+）+B的一部分图象如图所示，如果A0，0，|，则（）AA=4 B
9、=1 CB=4 D=【考点】余弦函数的图象【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数y=Acos（x+）+B的一部分图象，可得B=2，A=42=2，=，求得=2再根据五点法作图可得2+=0，求得=，y=2cos（2x）+2，故选：D7将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）Ay=sin（2x） By=sin（2x+） Cy=sin（x+） Dy=sin（x+）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asi
10、n（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+），故选：B8已知，sin+cos=，则sincos=（）A BC D【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系可得sin和cos的值，从而求得sincos的值【解答】解：，sin+cos=，sin2+cos2=1，sincos，sin=，cos=，则sincos=，故选：A9空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N
11、分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90，则MN=（）A10 B6 C8 D5【考点】异面直线及其所成的角【分析】取AD中点P，连结MP、NP，则MPBD，NPAC，从而MPN=90，MP=3，PN=4，由此能求出MN【解答】解：空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90，取AD中点P，连结MP、NP，则MPBD，NPAC，MPN=90，MP=3，PN=4，MN=5故选：D10设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模|sin，若，则|=（）A B C2 D4【考点】向量的模【分析】先求向量a和向量b的夹角
12、，然后利用所给公式求解即可【解答】解：cos=，（0，），|ab|=|a|b|sin=故选C11如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（）A B9 C D9【考点】向量在几何中的应用【分析】根据图形知：O是线段AB的中点，所以=2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出【解答】解：圆心O是直径AB的中点，+=2所以=2，与共线且方向相反当大小相等时点乘积最小由条件知当PO=PC=时，最小值为2=故选C12（理） 已知向量，向量，则向量与的夹角为（）A B C D【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由向量，根据向量模与
13、数量积运算公式，我们易计算出|，|， ，代入cos=我们易求出向量与的夹角【解答】解：，|=2，|=1， =2sin设向量与的夹角为则cos=sin又0180，=故选D二、填空题（共4题，每题5分）13过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有1个【考点】直线与平面平行的判定【分析】根据空间两条异面直线位置关系和线面平行的定义，以及图象判断符合条件的平面的个数【解答】解：由于两条直线是异面直线，则只能作出1个平面平行于另一条直线；如图：异面直线a、b，过b上任一点作a的平行线c则相交直线b、c确定一个平面，且与a平行故答案为：114向量=（1，sin），=（cos，），R，则|的取值范围为1
14、，3【考点】平面向量数量积的运算【分析】由平面向量的坐标运算求出=（1cos，sin），由此利用三角函数性质能求出|的取值范围【解答】解：向量=（1，sin），=（cos，），R，=（1cos，sin），|=，|的取值范围为1，3故答案为：1，315把一个半径为5cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为20【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据金属球的体积等于圆锥体积即可求得圆锥底面圆的半径，从而得出这个圆锥的高【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由题意得S底
15、面面积=r2，S扇形=3S底面面积=3r2，l扇形弧长=l底面周长=2r由S扇形=l扇形弧长R得3r2=2rR，故R=3r即母线长为3r，这个圆锥的高为=2r，根据题意得，r2r=r=5则这个圆锥的高为2r=20故答案为：2016如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEFA1B1C1=V1；VBCFEB1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=VV1以及面积关系，求出体积之比
16、【解答】解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEFA1B1C1=V1；VBCFEB1C1=V2；总体积为：V计算体积：V1=h（s1+s+）V=sh V2=VV1由题意可知，s1=根据解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：三、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分）17五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知条件求出梯形的高为12，从而求出一个梯形的面积为S梯=156cm2，由此能求出它的侧面面积【解答】解：如图
17、，五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，梯形的高为=12，S梯=156（cm2），S侧=5S梯=5156=780（cm2）它的侧面面积为780cm218已知，（1）求的值；（2）求的夹角；（3）求【考点】数量积的坐标表达式；向量的模；数量积表示两个向量的夹角【分析】（1）利用向量的运算律：平方差公式将等式展开求出（2）利用向量的数量积公式求出两向量的夹角余弦，进一步求出夹角（3）利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的完全平方公式展开求出模【解答】解：（1）由得（2）设与的夹角为，则又0180=120（3）19如图，在空间四边形
18、ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点，若，P为线段CD上的一点（P与D不重合），过M，N，P的平面交平面BCD于Q，求证：BDPQ【考点】直线与平面平行的性质【分析】先证明BD平面MNPQ，再利用线面平行的性质，即可得到结论【解答】证明：，MNBD，BD平面MNPQ，MN平面MNPQ，BD平面MNPQ，BD平面BCD，平面MNPQ平面BCD=PQ，BDPQ20已知向量=34， =63， =（5m）（4+m），其中、分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值【考点】数量积判断两个
19、平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角【分析】（1）由已知向量的坐标分别求出的坐标，利用不向量共线列式求出m的值；（2）直接由向量垂直数量积等于0列式求出m的值【解答】解：（1）若A、B、C能构成三角形，则相互不平行，=（63）（34）=，=（5m）（4+m）（34）=，=（5m）（4+m）（63）=，即，解得m1，解得m1，解得m1综上：实数m应满足m1；（2）由A为直角，所以，则3（2m）m=0，所以21已知向量，设函数，x0，（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）=0在区间0，上有两个不同的根，求cos（+）的值【考点】平面向量的综合题【分析】（1）由题意，可先由向量的数量积
20、运算及三角恒等变换，得出，由此函数是一个复合函数，分类讨论cosx的取值范围，利用复合函数的单调性的判断规则判断出单调性区间；（2）法一：f（x）=0在区间0，上有两个不同的根，可得有两个根，此两根为cos，cos，由根与系数的关系，再由由到角三角函数关系，解出易求cos（+）的值；法二：f（x）=0在区间0，上有两个不同的根，可得有两个根，此两根为cos，cos，解一元二次方程可得出cos，cos的值，再解出两角的正弦值，代入cos（+）的展开式，即可求cos（+）的值【解答】解：（1）令t=cosx，当时，且t=cosx为减函数又在上时减函数，f（x）在上是增函数当时，且t=cosx为减函
21、数又在上时增函数，f（x）在上是减函数综上，f（x）的单调区间为，（2）法一：由f（x）=0得，即令t=cosx，则cos，cos是方程的两个根，从而sin2sin2=（1cos2）（1cos2）=1（cos2+cos2）+cos2cos2=，法二：由f（x）=0得，即不妨设，则，22如图，正三棱柱ABCA1B1C1，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB，当点M在何位置时，MB平面AEF？【考点】直线与平面平行的判定【分析】利用线面平行的判定定理即可得出【解答】解：当点M是线段AC中点时，BM平面AEF下面给出证明：取AE中点N，连接NF、MN则，MNFB是平行四边形，则BMNF，又NFAEF，BM平面AEF，BM平面AEF2016年7月3日
