1、椭圆的标准方程和性质一、单选题1对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（ ）A三角形及其内部B矩形及其内部C圆及其内部D椭圆及其内部【答案】B【分析】由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论【详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系考查椭圆的对称性由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部2当ab0时，方程ay2ax2b0所表示的曲线是（ ）
2、A焦点在x轴的椭圆B焦点在x轴的双曲线C焦点在y轴的椭圆D焦点在y轴的双曲线【答案】B【分析】化简方程，然后判断表示的曲线即可【详解】当ab0时，方程ay2ax2b0即ay2ax2b化简得，即：方程表示双曲线焦点坐标在x轴上；故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查3已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（ ）ABCD与2的大小关系不确定【答案】A【分析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知
3、，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.二、填空题4如图，、是椭圆的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与、重合，点N满足：，则与的面积之比为_.【答案】【分析】设为椭圆的左顶点，由此求出点，的坐标，利用直角三角形的性质求出的长度，进而可以求解【详解】解：设为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可得在的正半轴上，则，由，可得，则，故答案为：5若焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为_.【答案】9【分析】由已知焦距即可求出c的值，进而可
4、以求解.【详解】解：由已知可得：，所以，又，所以，故答案为：9.6若，四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的方程为_.【答案】【分析】由于，关于轴对称，故由题设知C经过，两点，C不经过点，然后求出a，b，即可得到椭圆的方程.【详解】解：由于，关于轴对称，故由题设知经过，两点，所以.又由知，不经过点，所以点在上，所以.因此，故的方程为.故答案为：.【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出，；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为7已知椭圆的
5、焦点为，椭圆上的动点坐标，且为锐角，的取值范围为_【答案】【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案.【详解】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，,所以该圆的方程为：，由，消去y得：解得,又P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上，由于的左右顶点横坐标分别为-3和3，为使为锐角，的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，关键是有题意得到P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，注意由为锐角，可知P不在x轴上，还要注意结合椭圆的范围求解.8已知动圆过定点，且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹方程是_【答案
6、】【分析】根据圆心到定点与圆圆心的距离之和为定值判断即可.【详解】圆即圆,圆心为,半径为.又因为在圆内,故动圆与圆内切.设动圆半径为,则圆心到与的距离之和为.故动圆的圆心是以与为焦点,的椭圆,故.故动圆的圆心的轨迹方程是.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据动圆相切时半径之和的关系以及椭圆的定义求解椭圆的方程的方法,重点在于找到半径之和为定值的关系.属于基础题.9已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则的大小为_.【答案】【分析】结合已知条件，利用椭圆的定义求，利用勾股定理判断出的大小.【详解】依题意椭圆的.所以，解得，所以，所以三角形是直角三角形，且.故答案为：【点睛】本小题主要考
7、查椭圆的定义，属于基础题.10已知一动圆C内切于圆，且过定点，则动圆圆心C的轨迹方程是_.【答案】【分析】依据题意列出式子，结合椭圆的定义可知结果.【详解】圆的圆心，由题可知：，所以可知圆心C的轨迹为焦点在轴上的椭圆设椭圆方程为所以，则，所以所以椭圆方程为：故答案为：11方程表示焦点在轴上的椭圆，的取值范围为_【答案】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于方程表示焦点在轴上的椭圆，则，将椭圆方程化为标准方程得，由已知条件可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题12已知圆（1）设点是圆上一点,求的取值范围；
8、（2）如图,定点,为圆上一动点,的中垂线交于点求证：动点的轨迹为椭圆,并求其方程【答案】(1)；(2)，证明见解析.【分析】(1)令,与圆的方程联立,根据一元二次方程的根的判别式大于等于零即可求出的取值范围；(2)结合圆的性质和线段中垂线的性质,根据椭圆的定义可以判断出动点的轨迹为椭圆,随后可以求出方程.【详解】(1) 令,与圆的方程联立得：,因为方程有实数根,所以,所以；(2) 圆的半径为.为圆上一动点,而的中垂线交于点,所以有,因为,所以动点的轨迹是以为左右焦点的椭圆,而,所以该椭圆的方程为：.【点睛】本题考查了利用定义证明轨迹是椭圆并求出椭圆标准方程,考查了圆的性质、线段中垂线的性质,考
9、查了数学运算能力.13已知椭圆与直线相交于、两点，是坐标原点（1）当时，求弦的长度；（2）是否存在满足的直线，请说明理由？【答案】（1）；（2）存在；答案见解析【分析】（1）当时，联立，得到关于的一元二次方程，结合弦长公式，可求出弦的长度；（2）设，由，可得，联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求出的值.【详解】（1）当时，直线，设，联立，整理得，.（2）存在满足的直线，设，联立，整理得，且，解得，即，又，解得，符合，存在满足的直线，此时.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常见步骤：（1）得出直线方程，设交点坐标，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
10、（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；（5）代入韦达定理求解.14已知曲线（1）若曲线是椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线的左、右顶点为、，右焦点，是曲线上的点且满足，求点的坐标；（3）在（2）中，设是线段上的一点，到直线的距离等于它到点的距离，求曲线上的点到的距离的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）设点，可得出，由，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的二次方程，结合可求得的值，进而可得出点的坐标；（3）设点，则，求出直线的方程，由已知条件可得得出关于的等式，解出的值，可得出
11、点的坐标，然后曲线上一点，则，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】（1）由于曲线表示椭圆，则，解得且，因此，实数的取值范围是；（2）当时，曲线的方程为，即，则，所以，椭圆的左顶点为，右顶点为，设点的坐标为，则，则，整理可得，解得，此时，因此，点的坐标为；（3）设点，则，设点在第一象限，则，直线的斜率为，直线的方程为，即.由于到直线的距离等于它到点的距离，则，解得，即点，设曲线上一点，则，所以，当时，取最小值，即.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三
12、角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值15已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N（M在N的上方），四边形的面积为.（1）求椭圆C的方程；（2）作与l平行的直线与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点为P，若、的斜率分别为、，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）联立，求得M，N的纵坐标，再由四边形的面积为求解.（2）设直线方程为，联立，由求得m的范围，再利用韦达定理求得点P的坐标，利用斜率公式建立的函数模型求解.【详解】（1）由，解得，所以，解得，所以椭圆方程是.（2）设直线方程为，由，得，解得，即，设，则，所以，所以，因为且，所以，则，所以，即的取值范围是.【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单