1、小题押题16(11)空间几何体的三视图、表面积与体积卷 别年 份考题位置考查内容全国卷2017填空题第16题三棱锥外接球的表面积2016选择题第7题有关球的三视图及表面积2015选择题第6题锥体体积的计算选择题第11题空间几何体的三视图及表面积的计算卷 别年 份考题位置考查内容全国卷2017选择题第6题空间几何体的三视图及组合体体积的计算填空题第15题 球与多面体的切接问题、球的表面积2016选择题第4题正方体及其外接球的空间关系、外接球的表面积选择题第7题空间几何体三视图及组合体的表面积2015选择题第6题空间几何体的三视图及相关体积的计算选择题第10题 三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥
2、的结构特征全国卷2017选择题第9题球的内接圆柱、圆柱体积的计算2016选择题第10题 空间几何体三视图及表面积的计算选择题第11题 直三棱柱的体积最值问题命题规律分析立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大”的格局以选择题或填空题的形式主要考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的体积或表面积的计算考查点一 空间几何体的三视图1.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B1
3、2C14D16解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2422212，故选B.答案：B 2(2014全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.答案：B 3(2013全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0
4、,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状易知选A.答案：A 考查点二 空间几何体的表面积、体积4.(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36答案：B 解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V32 101232663.法二
5、：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V32763.5.(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 283，则它的表面积是()A17B18C20 D28解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 14，得到的几何体如图设球的半径为R，则43R31843R3283，解得R2.因此它的表面积为784R234R217.答案：A 6.(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
6、()A20 B24C28 D32解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l222 32 4，S表r2ch12cl416828.答案：C 7(2016全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 5)25418 5.答案：B A1836 5B5418 5C90D81考查点三 与球有关的结合体问题8(2017全国卷
7、)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB.34 C.2D.4解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的 12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r1122 32，故该圆柱的体积V322134.答案：B 9(2017全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_解析：如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC
8、，AO平面SCB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VS-ABCVA-SBC13SSBCAO1312SCOB AO，即913122RR R，解得 R3，球O的表面积为S4R243236.答案：36抓牢常考点空间几何体的表面积、体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式(1)圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)(其中r为底面半径，l为圆柱的高)(2)圆锥的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其中r为底面半径，l为母线长)(3)柱体的体积公式：VSh(S为柱体的底面面积，h为高)(4)锥体的体积公式：V13Sh(S为底面面积，h为高)(5)球的表面积和体积公式：S4R2，V43R3(
9、R为球的半径)题组突破1.(2017兰州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A(9 5)B(92 5)C(10 5)D(102 5)解析：由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半故该几何体的表面积S1242122 5(9 5).答案：A 2(2017广东三市联考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A6 B9C12 D8解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱截去 14 所得，如图所示，其体积为 34 123429.答案：B 3(2017长春模拟)堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示九章算术中有如下问题：“今有堑堵，下广二
10、丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”(注：一丈十尺)，答案是()A25 500立方尺B34 300立方尺C46 500立方尺D48 100立方尺解析：由三视图可知，堑堵为一个三棱柱，其体积为12186252046 500(立方尺)答案：C 解题方略求与三视图有关的几何体的表面积或体积的步骤(1)以三视图为载体求几何体的表面积或体积时，需要对三视图进行适当分析，还原出空间几何体(2)根据三视图的形状与图中所给数据，以及“正(主)视图反映几何体的长和高，侧(左)视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长
11、和宽”，确定原几何体中点、线、面的位置关系及主要线段的长度(3)利用相应的几何体表面积或体积公式进行计算 拿下重难点与球有关的结合体问题考法(一)与球有关的简单计算与球有关的结合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径典例(1)(2017河南六市联考)三棱锥P-ABC中，ABBC15，AC6，PC平面ABC，PC2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.253 B.252 C.8
12、33 D.832 解析 由题可知，ABC中AC边上的高为 152326，球心O在底面ABC的投影即为ABC的外心D，设DADBDCx，x232(6x)2，解得x5 64，R2x2 PC22 758 1 838(其中R为三棱锥外接球的半径)，外接球的表面积S4R2832.答案 D(2)(2017广州模拟)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8B12C20D24解析 法一：将三棱锥P-ABC放入长方体
13、中，如图，三棱锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球因为PAAB2，AC4，ABC为直角三角形，所以BC 42222 3.设外接球的半径为R，依题意可得(2R)22222(23)220，故R25，则球O的表面积为4R220.法二：利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC20，所以球O的表面积为4R220.答案 C解题方略1几何体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直
14、观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解解题方略2构造长方体或正方体确定球心的途径(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体或正方体；(3)若已知棱锥中含有线面垂直关系，则可将棱锥构造成长方体或正方体针对训练1(2018届高三张掖摸底)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为()A.62 B.52 C.22 D.32 解析：由三视图易知该几何体为四棱锥，可将该四棱锥放入正方体中，正方体的外接球即为四棱锥的外
15、接球，正方体的外接球的半径 R 1212122 32，所以 V 球43323 32.答案：D 2(2017兰州模拟)已知球O的半径为13，其球面上有三点A，B，C，若AB123，ACBC12，则四面体O-ABC的体积为_解析：过点 A 作 BC 的平行线 AD，过点 B 作 AC 的平行线BD，ACBC12，AB12 3，DADBDC12，点 D 是ABC 的外接圆圆心，连接 DO，在ODA 中，OA2DA2DO2，即 DO2OA2DA213212225，DO5，又 DO平面 ABC，VO-ABC131212 36560 3.答案：60 3考法(二)与球切接有关的最值问题与球切接有关的最值问题
16、多涉及体积最值问题、截面面积问题典例(1)(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4B.92 C6D.323解析 设球的半径为R，ABC的内切圆半径为 681022，R2.又2R3，R32，Vmax4332392.答案 B(2)(2017贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形，侧棱与底面垂直)的体积为33 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_cm2.解析 球O的表面积最小时，球O的半径R最小设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V34 a2b33，所以a2b1
17、2.底面正三角形所在截面圆的半径r33 a，则R2r2 b22a23 b24 1312b b24 4bb24，令f(b)4bb24，0b2R，则f(b)b382b2，令f(b)0，解得b2，当0b2时，f(b)2时，f(b)0，函数f(b)单调递增，所以当b2时，f(b)取得最小值3，即(R2)min3，故球O的表面积的最小值为12.答案 12(3)(2017洛阳统一考试)已知点A，B，C，D均在球O上，ABBC 6，AC2 3，若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为_解析 由题意可得，ABC2，ABC的外接圆半径r3，当三棱锥的体积最大时，VD-ABC 13 SABCh(h为D
18、到底面ABC的距离)，即31312 6 6hh3，即RR2r23(R为外接球半径)，解得R2，球O的表面积为42216.答案 16解题方略破解与球切接有关的最值问题的两种方法(1)结合图形分析取得最值的条件转化求解(2)建立目标函数转化为函数最值问题求解针对训练1(2017长春质量监测)正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为_解析：由题意，面积最小的截面是以AB为直径的圆，在正四面体ABCD中，如图，设E为BCD的中心，连接AE，BE，则球心O在AE上，延长AE交球面于F，则AF是球的直径，ABF90，又AEBE，所以在ABF中，由射影定理得AB2AEAF
19、4AE，又AEAB2BE2 63 AB，所以AB4 63，故截面面积的最小值为2 63283.答案：832(2017吉林白城一中测试)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为_解析：当三棱锥D-ABC的体积最大时，点D到底面ABC的距离最大，此时平面ACD平面ABC，取AB的中点O，AC的中点M，连接OM，DM，OD，OC，则DMOM22，因为DMAC，所以DM平面ABC，所以DMOM，所以ODDM2OM2 1，又OAOBOC1，所以点O是其外接球的球心，所以V431343.答案：43 “课下练”见“课时跟踪检测(十)”(单击进入电子文档)