1、第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4 B3 C2 D1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线xy1的距离d1r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案C2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 ()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.答案C3若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周
2、长，则a，b满足的关系是()Aa22a2b30Ba2b22a2b50Ca22a2b50Da22a2b50解析 即两圆的公共弦必过(x1)2(y1)24的圆心，两圆相减得相交弦的方程为2(a1)x2(b1)ya210，将圆心坐标(1，1)代入可得a22a2b50.答案C4若圆C1：x2y22axa240(aR)与圆C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条切线，则ab的最大值为 ()A3 B3 C3 D3解析易知圆C1的圆心为C1(a,0)，半径为r12；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r21.两圆恰有三条切线，两圆外切，|C1C2|r1r2，即a2b29.2，ab3(当且仅当ab时取“”
3、)，ab的最大值为3.答案D5若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 () A. B.C. D.解析C1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)当m0时，C2：y0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m0时，要满足题意，需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m，即直线处于两切线之间时满足题意，则m0或0m.综上知m0或0m2，b2)(1)求证：(a2)(b2)2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求AOB面积的最小值解 (1)证明：圆的标准方程是(x1)2(y1)21，设直线方程为1，即bxayab
4、0，圆心到该直线的距离d1，即a2b2a2b22ab2a2b2ab2a2b2，即a2b22ab2a2b2ab20，即ab22a2b0，即(a2)(b2)2.(2)设AB中点M(x，y)，则a2x，b2y，代入(a2)(b2)2，得(x1)(y1)(x1，y1)(3)由(a2)(b2)2得ab22(ab)4，解得2(舍去2)，当且仅当ab时，ab取最小值64，所以AOB面积的最小值是32.13设直线l的方程为ykxb(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2y22x40.(1)如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；(2)b1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和
5、最小值解圆M的标准方程为(x1)2y25，圆心M的坐标为(1,0)，半径为r.(1)不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，欲使l与圆M总有两个不同的交点，必须且只需点P在圆M的内部，即|MP|，即1b25，2b2，即b的取值范围是(2,2)(2)当l过圆心M时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2.当lMP时，此时|MP|最大，|AB|的值最小，|MP|22112，当且仅当k1时取等号最小值为222.14已知圆M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；(2)求四边形QAMB面积的最小值；(3)若|AB|，求直线MQ的方程解(1)设过点Q的圆M的切线方程为xmy1，则圆心M到切线的距离为1，1，m或0，QA，QB的方程分别为3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四边形MAQB|MA|QA|QA|.四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于P，则MPAB，MBBQ，|MP| .在RtMBQ中，|MB|2|MP|MQ|，即1|MQ|，|MQ|3，x2(y2)29.设Q(x,0)，则x2229，x，Q(，0)，MQ的方程为2xy20或2xy20.