1、92 向 量 运 算92.1 向量的加减法第1课时 向量的加法基础认知自主学习1向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法注意：任一向量与其相反向量的和是零向量，即a(a)(a)a0.对于零向量和任一向量a，我们规定0aa0a.2向量求和的法则三角形法则已知向量 a 和 b，在平面内任取一点 O，作OA a，AB b，则向量OB 叫作 a 与 b 的和，记作 ab，即 abOA AB OB.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.平行四边形法则对于任意两个不共线的非零向量 a，b，我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和分别作OA a，OC b，以 O
2、A，OC 为邻边作 OABC，则以 O 为起点的对角线表示的向量OB 就是向量 a 与 b 的和我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则3.向量加法的运算律(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).1化简AE EB BC 等于()AAB BCE CAC DBE【解析】选 C.AE EB BC AC.2如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF()A0 BBE CAD DCF【解析】选 D.因为正六边形 ABCDEF，所以EF CB，CD AF，所以BA CD EF CB BA AF CF.3在菱形 ABCD 中DAB60，|AB|1，则|BC CD|_【解析】在菱
3、形 ABCD 中，连接 BD(图略)，因为DAB60，所以BAD 为等边三角形，又因为|AB|1，所以|BD|1，|BC CD|BD|1.答案：14若 a 表示“向东走 8 km”，b 表示“向北走 8 km”，则|ab|_，ab 的方向是_【解析】如图所示，作OA a，AB b，则 abOA AB OB.所以|ab|OB|8282 8 2(km)，因为AOB45，所以 ab 的方向是东北方向答案：8 2 km 东北方向5如图所示，P，Q 是ABC 的边 BC 上两点，且 BPQC.求证：AB AC AP AQ.【证明】AB AP PB，AC AQ QC，所以AB AC AP PB AQ QC
4、.因为PB 和QC 大小相等、方向相反，所以PB QC 0，故AB AC AP AQ 0AP AQ.学情诊断课时测评一、单选题1(2021广州高一检测)在四边形 ABCD 中，若AC AB AD，则()A四边形 ABCD 一定是平行四边形B四边形 ABCD 一定是菱形C四边形 ABCD 一定是正方形D四边形 ABCD 一定是矩形【解析】选 A.由题意得AB BC AB AD，即BC AD，所以 BCAD，且 BCAD，所以四边形 ABCD 一定是平行四边形2(2021哈尔滨高一检测)在ABC 中，D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点，则DEFC 等于()AAB BBC CAC DAE【
5、解析】选 C.因为 D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点，所以 DEAC，且 DE12 ACAF，因此DE AF，所以DE FC AF FC AC.二、填空题3若 G 为ABC 的重心，则GA GB GC _【解析】延长 AG 至 E 交 BC 于 D 使得 AGGE，则由重心性质知 D 为 GE 中点，又为 BC 中点，故四边形 BGCE 为平行四边形所以GE GB GC.又GA GE，所以GA GB GC 0.答案：04如图所示，在平行四边形 ABCD 中，DA DC _【解析】由平行四边形法则可知DA DC DB.答案：DB三、解答题5在水流速度为 10 km/h 的河中，如果要
6、使船以 10 3 km/h 的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向【解析】如图，OA 表示水流方向，OB 表示垂直于对岸横渡的方向，OC 表示船行驶的方向，由OB OC OA，及OA CB 且OBC90，知OC20，AOC120，即船行驶速度为 20 km/h，方向与水流方向成 120角一、选择题1(2021海口高一检测)式子(AB MB)(BO BC)OM化简结果是()AAB BAC CBC DAM【解析】选 B.AB MBBO BCOM(AB BO)OM MB BC(AO OM)MB BC(AM MB)BCAB BC AC.2(2021长沙高一检测)已知点 D，E，F 分别是AB
7、C 各边的中点，则下列等式中错误的()AFD DA FA BFD DE EF 0CDE DA EC DDE DA FD【解析】选 D.由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD DA FA，故 A 正确；由FD DE EF FE EF 0，故 B 正确；根据平行四边形法则，可得DE DA DF EC，故 C 正确，D 不正确3(多选)若向量a，b为非零向量，能使|ab|a|b|成立的是()Aab且a与b方向相同Ba，b是共线向量，且方向相反Ca，b中至少有一个零向量D无论什么关系都可以【解析】选AC.因为|ab|a|b|，所以由向量加法的三角形法则知，ab且a与b方向相同，故A成立，C显然成立二
8、、填空题4在平行四边形 ABCD 中，若BC BABC AB，则四边形 ABCD 是_【解析】由图知BC BABD.又BC ABAD ABAC，(或|BC AB|AB BC|AC|)所以BDAC.所以四边形 ABCD 为矩形答案：矩形5如图所示，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F 为线段 DE 延长线上一点，DEBC，ABCF，连接 CD，那么(在横线上只填上一个向量)：AB DF _；AD FC _；AD BC FC _【解析】由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：AB DF AB BC AC.AD FC AD DB AB.AD BC FC AD DF FC AC.答案：AC AB AC三、解答题6(2021南京高一检测)如图，在任意四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点求证：AB DC 2EF.【证明】根据平面向量的加法意义，得EF EA AB BF，EF ED DC CF，又因为 E，F 分别为 AD，BC 中点，所以EA ED 0，BF CF 0；所以 2EF(EA AB BF)(ED DC CF)(EA ED)(AB DC)(BF CF)AB DC，即 2EF AB DC.