1、广东省汕头金山中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学（理）试题可能用到的结论:若则函数在上是减函数,在上是增函数.一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知，且则一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、2设则“且”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D不充分也不必要条件 3与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 ( )A B C D4.已知两座灯塔A、B与一岛C的距离都是，灯塔A在岛C的北偏东，灯塔B在岛C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）A、 B、 C、 D、 5与圆及圆都外切的动圆
2、的圆心在（ ）A、一个圆上 B、一个椭圆上 C、 双曲线的一支上 D、 一条抛物线上6设变量满足，则的最大值和最小值分别为（ ）A、2，2 B、2，4 C、 4，2 D、 4，47设是和的等比中项，则的最大值为（ ） A、1 B、2 C、3 D、48已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、二填空题 (本大题共6小题，每小题5分，满分30分.)9双曲线的离心率是 10已知向量满足且,则 11设等差数列的前项和为，若则 12函数的定义域为: 13已知点P及椭圆，Q是椭圆上的动点，则的最大值为 14.下列4个命题 其中的真命题是 三解答题（本
3、大题共6小题，共80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（12分）已知平面直角坐标系中点F（1，0）和直线,动圆M过点F且与直线相切。（1）求M的轨迹L的方程；（2）过点F作斜率为1的直线交曲线L于A、B两点，求AB的值。16.(12分) 在中，分别是角的对边，且82615980（）求的面积；（）若，求角。17.（14分） 如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2。 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的余弦值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.18(14分)甲、乙两地相距S千米
4、，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19. （14分）已知椭圆C：的两个焦点为、，且经过点，一组斜率为的直线与椭圆C都相交于不同两点、。（1）求椭圆C的方程；（2）证明：线段的中点都有在同一直线上；（3）对于（2）中的直线，设与椭圆C交于两点M、N，试探究椭圆上使MNQ面积为的点Q有几个？证明你的结论。（不必具体求
5、出Q点的坐标）20.（14分）设数列的前项的和为，且， （）证明：数列是等比数列，并求通项；（）设，证明： 16（12分）解： = 又 （）由（）知ac=35，又a=7， c=5， 由正弦定理得 又 17（14分）解：（I）（法一）矩形ABCD中过C作CHDE于H，连结C1HCC1面ABCD，CH为C1H在面ABCD上的射影C1HDE C1HC为二面角CDEC1的平面角矩形ABCD中得EDC=，DCH中得CH=，又CC1=2，C1HC中，C1HC二面角CDEC1的余弦值为 7分（2）以D为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B（3，4
6、，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C1(0,4,2) 设EC1与FD1所成角为，则 故EC1与FD1所成角的余弦值为 14分（法二）（1）以D为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C1(0,4,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有，令，则 又面CDE的法向量为 7分由图，二面角CDEC1为锐角，故二面角CDEC1的余弦值为 8分（II）设EC1与FD1所成角为，则 故EC1与FD1所成角的余弦值为 14分18(14分)解：（）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
7、， 1分全程运输成本为 3分故所求函数及其定义域为 5分()依题意知S，a，b，v都为正数，故有 当且仅当即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，则由于,当时为减函数，则在上为减函数当v=c时，全程运输成本y最小 12分综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c 14分（3）代入得或 |MN|=,设点Q到直线的距离为，则由=得（法一）设Q在与直线MN平行的直线上，则直线与直线MN的距离为 解得，时，代入得，方程有两不等实解，即有两个不同点Q满足；同理可得，时也有两个不同的点Q满足。综上，共有4个不同点Q满足条件(若求点Q坐标,则为)法(二)设D为椭圆上不同于M、N的任一点，D到MN的距离为，即椭圆C上点到直线MN距离的最大值为，而,故由图可知，椭圆C上有4个点Q能满足条件。
