1、2020-2021学年北京市海淀区八一学校高二（下）期末数学试卷一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分).1若集合Ax|1x3，Bx|1x2，则AB（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32下列函数中，值域为0，+）的是（）Ay2xBCytanxDycosx3实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）Aa+cb+cBacbcCacbcD4已知a32，blog0.42，clog23，则（）AabcBacbCbcaDcab5已知f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）logx，则f（x）0的解集是（）A（1，0）B（0，1）C（，1）（0，1）D（1，0）
2、（0，1）6某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（）ABCD7“lnalnb”是“3a3b”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知曲线：y2xx2+y21yx3x2y21上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A1B2C3D49已知函数f（x）给出下列三个结论：当a2时，函数f（x）的单调递减区间为（，1）；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+）；若a1且a0，则bR，使得函数yf（x）
3、b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正确结论的个数是（）A0B1C2D310已知函数f（x）在定义域（0+）上是单调函数，若对于任意x（0，+），都有f（f（x）2，则f（）的值是（）A5B6C7D8二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11已知函数f（x），那么f（f（2） 12（2x+）4的展开式中的常数项为 13小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8则小明能准时到达的概率为 ；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为 （
4、结果保留两位小数）14不等式的解集为 15已知集合Aa1，a2，an，nN*且n2，令TAx|xai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合TA中元素的个数若A2，4，8，16，则card（TA） ；若ai+1aic（1in1，c为非零常数），则card（TA） 三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（）求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投球次数的分布列和期望1
5、7已知函数f（x）x33x2，g（x）ax24（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的x0，+），都有f（x）g（x），求实数a的取值范围18某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为ai，i1，2，3，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：顾客产品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15A11111B11111111C1111111D111111（）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新
6、产品的顾客赠送2元电子红包现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）19已知函数f（x）x2alnxx，其中常数a0（）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合愿要求的.1若集合Ax|1x3，Bx|1x2，则AB（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3解：集合Ax|1x3，Bx|1x2，
7、ABx|1x2故选：C2下列函数中，值域为0，+）的是（）Ay2xBCytanxDycosx解：A，y2x的值域为（0，+），故A错B，y的定义域为0，+），值域也是0，+），故B正确 C，ytanx的值域为（，+），故C错 D，ycosx的值域为1，+1，故D错故选：B3实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）Aa+cb+cBacbcCacbcD解：由数轴可以看出ab0c对于A，ab，a+cb+c，故A正确；对于B，ab，acbc，故B错误；对于C，ab，c0，acbc，故C错误；对于D，ab0c，0，故D错误故选：A4已知a32，blog0.42，clog23，则（
8、）AabcBacbCbcaDcab解：0321，log0.42log0.410，log23log221，cab故选：D5已知f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）logx，则f（x）0的解集是（）A（1，0）B（0，1）C（，1）（0，1）D（1，0）（0，1）解：因为f（x）是R上的奇函数，当x0时，f（x）logx，当x0时，x0，则f（x）f（x）log（x），所以f（x）log（x），又f（0）0，则由f（x）0可得，或，解可得0x1或x1故选：C6某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生
9、的概率为（）ABCD解：某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，设事件A表示“抽到的第1个同学是男生”，事件B表示“抽到的第2个同学也是男生”，则P（A），P（AB），则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率：P（B|A）故选：C7“lnalnb”是“3a3b”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：“3a3b”“ab”，“lnalnb”“ab0”，“ab0”是“ab”的充分而不必要条件，故“lnalnb”是“3a3b”的充分而不必要条件，故选：A8已知曲线：y2xx2+y21yx3x2y21
10、上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A1B2C3D4解：当直线和抛物线y2x对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点，但此时直线不是切线，故错误，当直线和圆x2+y21只有一个公共点时，直线与圆相切，故正确，当直线和x轴平行时，直线和yx3只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故错误，当直线和双曲线x2y21的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点，但此时直线和双曲线不相切，故错误，故正确的只有，故选：A9已知函数f（x）给出下列三个结论：当a2时，函数f（x）的单调递减区间为（，1）；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+）；若a1
11、且a0，则bR，使得函数yf（x）b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正确结论的个数是（）A0B1C2D3解：对于：当a2时，由0e21，f（0）1f（e2）|lne2|2，所以函数f（x）在区间（，1）上不单调递减，故错误；对于：若函数可转换为，画出函数的图象，如图所示：所以函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+）故正确对于令yf（x）b0，结合函数我的图象，不妨设x10x21x3，则ax1+1lnx2lnx3b，所以，所以，令1，即ba+1，当a0时，ba+11，故yf（x）b0有三个零点，且x1x2x31，符合题意，当0a1时，0ba+11，故yf（x）b0
12、有三个零点，且x1x2x31，符合题意，故正确故正确答案为：，故选：C10已知函数f（x）在定义域（0+）上是单调函数，若对于任意x（0，+），都有f（f（x）2，则f（）的值是（）A5B6C7D8解：函数f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，且f（f（x）2，f（x）为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）n，f（n）2，由得 f（x）n+，代入，得2，解得n1，因此f（x）1+，所以f（）6故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11已知函数f（x），那么f（f（2）8解：根据题意，函数f（x），则f（2）2，则f（f（2）f（2）22248，故答案为：812（2x+）
13、4的展开式中的常数项为24解：由通项公式得：Tr+1C（2x）4r（）r24rCx42r，令r2，得展开式的常数项为：242C24，故答案为：2413小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8则小明能准时到达的概率为0.92；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为0.17（结果保留两位小数）解：记“小明能准时到达”为事件A，“小明乘坐火车去”为事件B，则小明能准时到达的概率为P（A）0.80.95+0.20.80.92，P（AB）0.20.80.16，若小明当天
14、准时到达，则他是乘火车去的概率为：P（B|A）0.17故答案为：0.92，0.1714不等式的解集为（1，+）解：不等式，当x1时，原不等式等价为x1lnx，由f（x）lnxx+1的导数为f（x）1，当x1时，f（x）0，f（x）递减；可得f（x）f（1）0，即有lnxx1；当0x1时，f（x）0，f（x）递增，可得f（x）f（1），即为lnxx1；这与0x1时，原不等式等价为x1lnx，矛盾，综上可得，原不等式的解集为（1，+），故答案为：（1，+）15已知集合Aa1，a2，an，nN*且n2，令TAx|xai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合TA中元素的个数若A2，
15、4，8，16，则card（TA）6；若ai+1aic（1in1，c为非零常数），则card（TA）2n3解：若A2，4，8，16，则TA6，10，18，12，20，24，card（TA）6；若ai+1aic（ 1in1，c为非零常数），说明数列a1，a2，an，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，取A1，2，3，n，则TA3，4，5，2n1，由于（2n1）3+12n3，TA中共2n3个元素，利用类比推理可得若ai+1aic（ 1in1，c为非零常数），则card（TA）2n3故答案为：6；2n3三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16甲、乙两人轮流
16、投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（）求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投球次数的分布列和期望解：（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak），P（Bk），k（1，2，3）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）P（A1）+P（）+P（）+（2）的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（1）P（A1）+P（），P（2）P（）+P（）+（）2（）2，P（3）P（）（）2（）2，综上知，的分布列为：1
17、23PE（次）甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次17已知函数f（x）x33x2，g（x）ax24（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的x0，+），都有f（x）g（x），求实数a的取值范围解：（1）f（x）3x26x，令f（x）0，得x0或x2，f（x），f（x）随x变化情况如下表： x （，0） 0 （0，2） 2 （2，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 极大值 极小值所以，当x0时，f（x）有极大值0，当x2时，f（x）有极小值4（2）令F（x）f（x）g（x）x3（3+a）x2+4，F（x）3x22（3+a）x，由F（x）0，得：x0或x，当0时，即a3时F（x）0在（0，+
18、）上恒成立，所以此时F（0）4为最小值，所以F（x）0恒成立，即f（x）g（x）当0，即a3时， x 0 （0，） （，+） f（x） 0 0+ f（x）极小值所以当x时，F（x）取得最小值，若要满足f（x）g（x），则F（）0，即3（3+a）2+4（3+a）3+40，解得a0，所以3a0，综上所述，a的取值范围是a018某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为ai，i1，2，3，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：顾客产品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15A11111B111111
19、11C1111111D111111（）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）解：（I）由题意可得：5303000（件）因此产品A的月销售量约为3000（件）（II）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为，则B（3，）P（k
20、）随机变量X2的分布列为： X 0 2 4 6 P EX（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐D种新产品19已知函数f（x）x2alnxx，其中常数a0（）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围解：（）根据题意，函数f（x）x2alnxx，因为，其中x0因为f（x）是单调函数，所以f（x）0或f（x）0对x0成立当f（x）0对x0成立时，即2x2xa0对x0成立所以2x2xa，根据二次函数的性质得到，当f（x）0对x0成立时，即2x2xa0对x0成立所以2x2xa，根据二次函数的性质这种情形不成立；综上，所以实数
21、a的最大值为（）根据题意，由（），当时，函数f（x）是单调递增函数，而f（1）0，则函数f（x）只有一个零点，当时，令，得，当时，0x1x2所以x，f（x），f（x）的变化情况如下表x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）极大极小因为而，所以注意到x1x21所以，所以所以在x（0，x2）时，f（x）f（x1）0，所以函数f（x）在区间（0，x2）上没有零点，而当x+时，f（x）+，所以函数f（x）在区间（x2，+）上有一个零点，当a0，其中（舍）所以x，f（x），f（x）的变化情况如下表x（0，x2）x2（x2，+）f（x）0+f（x）极小当时，即a1时，f（x2）0函数f（x）的唯一的一个极小值，即最小值为f（1）0，符合题意，当时，即a1时，则f（x2）f（1）0，而当x+时，f（x）+，所以函数f（x）在区间（x2，+）上还有一个零点，矛盾当，即a1时则f（x2）f（1）0，而此时x0时，f（x）+，所以函数f（x）在区间（0，x2）上还有一个零点，矛盾，综上，实数a的取值范围是a|a0或a1