1、十八直线与圆的位置关系(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=r.2.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为()A.4B.6C.8D.10【解析】选D.设圆心为C,则C(2,0),过点M的弦为直径时,长度最长为23=6,过点M的弦以M为中点且与CM垂直时,长度最短,最短为2=2=4,所以6+4=10.
2、3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为()A.-1B.3C.0D.4【解析】选CD.设圆的弦长为l,半径为r,圆心到直线的距离为d,则l=2,由弦长为2,可得d=,即=,解得a=0或4.4.若直线l:x-3y+n=0与圆x2+y2+2x-4y=0交于A,B两点,A,B关于直线3x+y+m=0对称,则实数m的值为()A.1B.-1C.-3D.3【解析】选A.由题意得圆的标准方程为:(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心C的坐标为:(-1,2),由题意可得:A,B关于直线3x+y+m=0对称,则直线3x+y+m=0过圆心,所以3(-1)+2+m=
3、0,解得m=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.【解析】令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r=,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=26.倾斜角是,且过点(1,4)的直线l交圆C:x2+y2-2y-3=0于A,B两点,则直线l的一般式方程为,|AB|=.【解析】直线l的斜率k=tan=1,又直线l过点(1,4),所以直线l的方程为y-4=1(x-1),化为一般方程,
4、即x-y+3=0.化圆C:x2+y2-2y-3=0为x2+(y-1)2=4,则圆心坐标为C(0,1),半径r为2.圆心C(0,1)到直线x-y+3=0的距离d=.所以|AB|=2=2=2.答案:x-y+3=02三、解答题7.(10分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程.【解析】(1)直线l:mx-y+1-m=0化为m(x-1)-y+1=0,所以直线l经过定点(1,1),因为12+(1-1)20)经过点A(0,5),与x轴正半轴交于点B.(1)r=.(
5、2)圆O上是否存在点P,使得PAB的面积为15?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)r=5.(2)存在.因为r=5,所以圆O的方程为x2+y2=25,依题意,A(0,5),B(5,0),所以|AB|=5,直线AB的方程为x+y-5=0,又因为PAB的面积为15,所以点P到直线AB的距离为3,设点P(x0,y0),所以P到直线AB的距离为=3,解得x0+y0=-1或x0+y0=11(显然此时点P不在圆上,故舍去),联立方程组解得或所以存在点P(-4,3)或P(3,-4)满足题意.【加练固】 已知在平面直角坐标系xOy中,圆心在直线l:y=2x-4上的圆C的半径为1.(1)若
6、圆C与x轴交于A,B两点,且ACB=120,求圆C的方程.(2)是否存在直线m,使其被圆C截得的弦长总为,若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆心C(p,2p-4),圆C与x轴交于A,B两点,且ACB=120,则|AB|=.由弦心距,半弦长,半径构成的直角三角形可得,圆心到x轴的距离为,所以|2p-4|=,所以p=或,所以圆心C的坐标为或.所以圆C的方程为+=1或+=1.(2)存在.因为弦长总为,半径为1,所以由弦心距,半弦长,半径构成的直角三角形可得圆心C到直线m的距离总为,即直线m与l平行且距离为,设直线m的方程为2x-y+n=0,则=,解得n=-4.所以存在直线m,其方程为y=2x-4-或y=2x-4+.
