1、加练课5 离心率的求解基础达标练1.（2021山东德州一中高二期中）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F(-c,0) ,若A(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F四点共圆,则该双曲线的离心率为( )A.2+1 B.2+12 C.5+1 D.5+12答案：D2.设e是椭圆x24+y2k=1的离心率,且e(12,1) ,则实数k的取值范围是( )A.(0,3)B.(3,163)C.(0,3)(163,+) D.(0,2)答案：C3.（2020山东烟台高二月考）从某个角度观察篮球（如图甲）,可以得到一个对称的平面图形,如图乙所示,篮球的外轮廓为圆O ,将篮球表面的粘合
2、线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分,且AB=BO=OC=CD ,则该双曲线的离心率为( )A.2 B.3 C.2D.5答案：B4.若双曲线x2a2-y2b2=1和椭圆x2m2+y2b2=1(a0,mb0)的离心率互为倒数,则以a,b,m为边长的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形答案：C5.（2020山东日照一中高二月考）如图,已知点F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PFx轴,OPAB（O为原点）,则该椭圆的离心率是( )A.22 B.24 C.12 D.32答案：A6.已知直线l的倾斜角为45
3、 ,直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右两支分别交于M,N两点,且MF1,NF2都垂直于x轴（其中F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点）,则该双曲线的离心率为( )A.3 B.5 C.5-1 D.5+12答案：D解析：根据题意及双曲线的对称性,设点M(-c,y) ,则N(c,-y),c2a2-y2b2=1,又c2=a2+b2,|y|=c2-a2a,且|MF1|=|NF2|=|y| ,直线l的倾斜角为45,直线l过坐标原点,|y|=c ,c2-a2a=c,整理得c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得e=5+12或e=5-12（舍去）.7.（2021山东郓城一中高
4、二期中）地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆,根据开普勒行星运动第二定律,可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积,某同学结合物理和地理知识得到以下结论：地球到太阳的距离取得最小值和最大值时,地球分别位于图中的A点和B点;已知地球公转轨道的半长轴长约为149 600 000千米,半短轴长约为149 580 000千米,则该椭圆的离心率约为1,因此该椭圆近似于圆形;已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后）,地球会分别运行至图中的C点和D点,由此可知,我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论中正确的是( )A.B.C.D.答
5、案：A解析：由椭圆的几何性质可知,当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时,地球分别位于题图中的A点和B点,中结论正确;ba=1495800001496000001,该椭圆的离心率e=ca=a2-b2a2=1-(ba)20,中结论错误;根据开普勒行星运动第二定律,知地球从D点到C点运行的速度较快,因此经历的时间较短,所以夏半年比冬半年多几天,中结论错误.8.如图,中心均为坐标原点O的双曲线与椭圆在x轴上有共同的焦点F1,F2 ,点M,N分别是双曲线的左、右顶点,点A,B分别是椭圆的左、右顶点.若F1,M,O,N,F2将线段AB六等分,则双曲线与椭圆的离心率的乘积为 .答案：43解析：令|ON|=
6、t ,则|OF2|=2t,|OB|=3t ,所以椭圆的离心率e1=|OF2|OB|=23 ,双曲线的离心率e2=|OF2|ON|=2 .所以双曲线与椭圆的离心率的乘积为e1e2=43 .素养提升练9.（2020河南濮阳一中高二期中）过椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B ,且点B在x轴上的射影恰好为椭圆的左焦点F ,若14k23 ,则椭圆离心率的取值范围为( )A.13,34 B.(13,34)C.(0,34) D.(13,1)答案：B解析：由题意可得A(a,0) ,因为点B在x轴上的射影恰好为左焦点F(-c,0) ,所以点B的横坐标为x=-c
7、,代入x2a2+y2b2=1(ab0)中,可得c2a2+y2b2=1,解得y=b2a,因为14k23 ,所以y=-b2a,即B(-c,-b2a),所以k=-b2a-c-a=b2ac+a2=a2-c2ac+a2=a-ca=1-e ,因为14k23 ,所以141-e23 ,所以13e34 .10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) ,A,B为椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(a5,0) ,则椭圆的离心率e的取值范围是( )A.(22,1) B.(33,1)C.(55,1) D.(34,1)答案：C解析：设A,B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) .线段AB的垂直平分线与
8、x轴相交,AB不平行于y轴,即x1x2 .又交点为M(a5,0),|MA|=|MB|,即(x1-a5)2+y12=(x2-a5)2+y22,点A,B在椭圆上,y12=b2-b2a2x12,y22=b2-b2a2x22 .将上式代入,得2(x2-x1)a5=(x22-x12)a2-b2a2,x1x2,a5=x1+x22a2-b2a2 .-ax1a,-ax2a,且x1x2,-2ax1+x22a,-a2+b2aa5a2-b2a,又0e1,15c2a21,55ca1,即55e1,椭圆的离心率e的取值范围是(55,1) .创新拓展练11.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F ,椭圆C上
9、的两点A,B关于原点对称,且满足FAFB=0,|FB|FA|2|FB| ,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A.22,53 B.53,1)C.22,3-1 D.3-1,1)答案：A解析：命题分析本题主要考查椭圆的定义、对称性、离心率的取值范围的求法以及函数值域的应用,同时考查转化求解问题的能力.答题要领设椭圆的左焦点为F ,由椭圆的对称性结合FAFB=0 ,得到四边形AFBF为矩形,设|AF|=n,|AF|=m ,在直角三角形ABF中,利用椭圆的定义和勾股定理化简得到mn+nm=2c2b2 ,再根据|FB|FA|2|FB| ,得到mn的取值范围,进而得到b2a2的取值范围,最后由e=ca=1-
10、b2a2得到离心率的取值范围.详析解析如图所示：设椭圆的左焦点为F ,连接AF,BF,AB ,由椭圆的对称性可知,四边形AFBF为平行四边形,因为FAFB=0 ,所以FAFB ,所以平行四边形AFBF为矩形,所以|AB|=|FF|=2c ,设|AF|=n,|AF|=m ,在直角三角形ABF中,m+n=2a,m2+n2=4c2 ,所以mn=2b2 ,所以mn+nm=2c2b2,令mn=t,则t+1t=2c2b2,又由|FB|FA|2|FB| ,得mn=t1,2 ,所以t+1t=2c2b22,52 ,所以c2b21,54,所以a2b22,94,所以b2a249,12,所以e=ca=1-b2a222,53,所以离心率的取值范围是22,53 .方法感悟求椭圆或双曲线离心率的取值范围时,在得到目标函数的表达式后,求最值的方法一般是利用函数的单调性或基本不等式.
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