1、142.2 分 层 抽 样基础认知自主学习【概念认知】1分层抽样(1)分层抽样的定义一般地，当总体由_的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的特点分成层次_的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样差异明显比较分明(2)分层抽样的步骤将总体按一定标准分层；计算各层的个体数与总体的个数的_；按各层的个体数占总体的个体数的_确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).比比2两种抽样方法的特点及适用范围(1)随机样本为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中的每个个体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称这个样本为随
2、机样本(2)两种抽样方法的特点及适用范围类别 特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数相对较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同分层抽样将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取各层抽样时，可以采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成【自我小测】1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A从10名同学中抽取3人参加座谈会B一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况C从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D从生产流水线上，抽取样本检查产品质量【解析】选 B.A 中总体个体无明显差
3、异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和 D中总体个体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B 中总体个体差异明显，适合用分层抽样2经调查，在某商场扫码支付的老年人，中年人，青年人的比例为 235，用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中中年人数为 9，则 n()A30 B40 C60 D80【解析】选 A.因为老年人，中年人，青年人的比例为 235，又中年人为 9 人，所以老年人为 6 人，青年人为 15 人，所以 n691530.3(教材练习改编)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300
4、人，现在按 1100 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A8 B11 C162 D10【解析】选 A.若设高三学生数为 x，则高一学生数为x2，高二学生数为x2 300，所以有 xx2 x2 3003 500，解得 x1 600.故高一学生数为 800，因此应抽取高一学生数为 800100 8.4在距离 2016 年央视春晚直播不到 20 天的时候，某节目被取消，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：网民态度支持反对无所谓人数(单位：人)8 000 6 000 10 000若采用分层抽样的方法从中抽取 48 人进行座谈，则持“支持”态度的
5、网民抽取的人数为_【解析】由分层抽样的方法，得持“支持”态度的网民抽取的人数为488 0008 0006 00010 000 4813 16.答案：165某县共有 320 个自然村，其中山区 32 个，丘陵地区 240 个，平原地区 48 个为调查村民收入状况，要从中抽出 20 个村进行调查，试设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程【解析】由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故采用分层抽样法较为合理因为 20320 116，所以按 116 的比例抽取，应在山区抽取 32 116 2(个)，丘陵地区抽取 240 116 15(个)，平原地区抽取 48 116 3(个).
6、具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用抽签法，具体实施过程略对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不大，可采取随机数表法首先将240 个村按 001，002，240 编号，然后用随机数表法抽取 15 个这样便得到了一个容量为 20 的样本学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法B简单随机抽样C分层抽样D随机数表法【解析】选 C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样2下列试验中最适合用分层抽样方法抽样的是(
7、)A从一箱 3 000 个零件中抽取 5 个入样B从一箱 3 000 个零件中抽取 600 个入样C从一箱 30 个零件中抽取 5 个入样D从甲厂生产的 100 个零件和乙厂生产的 200 个零件中抽取 6 个入样【解析】选 D.D 中总体有明显差异，故用分层抽样3我国古代数学名著九章算术中有如下问题，“今有北乡 8 758 人，西乡有 7 236人，南乡有 8 356 人，现要按人数多少从三个乡共征集 487 人，问从各乡征集多少人”在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是()A112 B128 C145 D167【解析】选 D.从南乡征集的人数大约是 8 3564878 7587 2368
8、356 167(人).4甲校有 3 600 名学生，乙校有 5 400 名学生，丙校有 1 800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为 90 的样本，应在这三校分别抽取学生()A30 人，30 人，30 人 B30 人，45 人，15 人C20 人，30 人，40 人 D30 人，50 人，10 人【解析】选 B.先求抽样比nN 903 6005 4001 800 1120，然后各层按抽样比分别抽取，甲校抽取 3 600 1120 30(人)，乙校抽取 5 400 1120 45(人)，丙校抽取 1 800 1120 15(人).5某实验中学共有职工 15
9、0 人，其中高级职称的职工 15 人，中级职称的职工 45 人，普通职员 90 人，现采用分层抽样的方法抽取容量为 30 的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为()A5，10，15 B3，9，18C3，10，17 D5，9，16【解析】选 B.分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为 a，b，c，则 a15 b45 c90 30150，解得 a3，b9，c18.6交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在
10、甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为()A101 B808C1 212 D2 012【解析】选 B.因为甲社区有驾驶员 96 人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为 12 人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为1296 18，所以驾驶员的总人数为(12212543)18 808(人).二、多选题7某高校大一新生中，来自东部地区的学生有 2 400 人、中部地区学生有 1 600 人、西部地区学生有 1 000 人从中选取 100 人为样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有()用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生
11、48 人、中部地区学生 32 人、西部地区学生 20 人；用简单随机抽样的方法从新生中选出 100 人；西部地区学生小刘被选中的概率为 150；中部地区学生小张被选中的概率为15 000.A B C D【解析】选 AC.A.由分层抽样的概念可知，取东部地区学生 1002 4002 4001 6001 00048 人、中部地区学生 1001 6002 4001 6001 000 32 人、西部地区学生1001 0002 4001 6001 000 20 人，题中的说法正确；B新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；C.西部地区学生小刘被选中的概率为1002 4001
12、6001 000 150，题中的说法正确；D.中部地区学生小张被选中的概率为1002 4001 6001 000 150，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是 AC.8为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，下列说法不正确的是()A每层的个体数必须一样多B每层抽取的个体数相等C每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 ninNiN(i1，2，k)个个体，其中 k 是层数，n 是抽取的样本容量，Ni 是第 i 层所包含的个体数，N 是总体容量D只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【解析】选 ABD.每层的个体数不一定都一样多，所以选项 A 不正确；又因为由于每层的容量不一定相
13、等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以选项 B 不正确；对于第 i 层的每个个体，它被抽到的可能性与层数 i 无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，所以选项 C 正确；每层抽取的个体数是有限制的，所以选项 D 不正确三、填空题9我校高一、高二、高三共有学生 2 400 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这 2 400 名学生中抽取一个容量为 48 的样本若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为_【解析】设从高一年级抽取的学生人数为 2x，则从高二、
14、高三年级抽取的人数分别为 2x2，2x4.由题意可得 2x(2x2)(2x4)48，所以 x7.故高二年级抽取16 人，设我校高二年级的学生人数为 N，再根据 482 400 16N，求得 N800.答案：80010某高中各年级男、女生人数统计如表：高一 高二 高三男生 592563520女生 528517a按年级分层随机抽样，若抽取该校学生 80 人中，高二学生有 27 人，则表中 a_【解析】由题意可得80592563520528517a 27563517，求得 a480.答案：480四、解答题11某校高一年级 500 名学生中，血型为 O 型的有 200 人，血型为 A 型的有 125
15、人，血型为 B 型的有 125 人，血型为 AB 型的有 50 人为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为 40 的样本，每种血型各有多少人？【解析】因为 40500 225，所以应用分层抽样抽取血型为 O 型的 225 20016(人)，A 型的 225 12510(人)，B 型的 225 12510(人)，AB 型的 225 504(人).12为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校 A，B，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求 x，y；(2)若从高校 B 相关人员中选 2 人作专题发言，
16、应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有 x54 13 x18，3654 y3 y2.故 x18，y2.(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：第一步，将 36 人随机编号，号码为 1，2，3，36；第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取 2 个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本【综合突破练】一、选择题1某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从 810 岁，1112 岁，1314 岁，15
17、16 岁四个年龄段回收的问卷依次为：120 份，180 份，240 份，x 份因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本，其中在 1112 岁学生问卷中抽取 60 份，则在 1516 岁学生中抽取的问卷份数为()A60 B80 C120 D180【解析】选 C.从 1112 岁的学生中回收 180 份问卷，从中抽取 60 份，则抽样比为13.因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本，所以从 810 岁，1112 岁，1314 岁，1516 岁四个年龄段回收的问卷总数为30013900(份)，则 1516 岁回收问卷份数为 x900120180240360(
18、份).所以在 1516 岁学生中抽取的问卷份数为 36013 120(份).2当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户，若第一批经济适用房中有 90 套住房用于解决这三个社区中 90 户低收入家庭的住房问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A40 B30 C20 D36【解析】选 A.抽样比为90360270180 19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 36019 40.3(多选)某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表，用分层抽样的方法抽取17 人
19、进行单位管理问卷调查，若抽到 3 位老年人，则下列说法正确的为()A.抽到 8 位青年人B抽到 6 位中年人C中年人有 6 人D中年人有 30 人类别人数老年人 15中年人？青年人 40【解析】选 ABD.设该单位的中年人的人数为 x，则由题表可知，315 1715x40，解得 x30.因此在抽取的 17 人中，中年人的人数为 3017153040 6.由抽样比可知抽到的青年人为 8 人二、填空题4某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_
20、件【解析】应从丙种型号的产品中抽取 60 3001 000 18 件答案：185一班有学员 54 人，二班有学员 42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加 44 方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是_【解析】设一班被抽取的人数是 x，则 x54 164254，解得 x9，所以一班被抽取的人数是 9，二班被抽取的人数是 1697.答案：9，76某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1 200 辆，6 000 辆和 2 000 辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆轿车进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为_【解析】设三种型号的轿车依次应抽取
21、 x 辆，y 辆，z 辆，则有x1 200y6 000z2 000，xyz46，解得x6，y30，z10.答案：6，30，10三、解答题7一批产品中有一级品 100 个，二级品 60 个，三级品 40 个，用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程【解析】第一步，确定抽样比，因为 1006040200，所以 20200 110；第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100 110 10，二级品：60 110 6，三级品：40 110 4；第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本；第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本8为了对某课题进
22、行研究，从 A，B，C 三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校 A 有 m 名教授，高校 B 有 72 名教授，高校 C 有 n 名教授(其中 0m72n).(1)若 A，B 两所高校中共抽取 3 名教授，B，C 两所高校中共抽取 5 名教授，求 m，n.(2)若高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的23，求三所高校的教授的总人数【解析】(1)因为 0m72n，A，B 两所高校中共抽取 3 名教授，B，C 两所高校中共抽取 5 名教授，所以高校 B 中抽取 2 人，所以高校 A 中抽取 1 人，高校 C 中抽取 3 人，所以1m 272 3n，解得 m36，n108.(2)因为高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的23，所以23(mn)72，解得 mn108，所以三所高校的教授的总人数为 mn72180.