1、澄海中学2020-2021学年度第一学期第一次学段考试数学科试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Ax|1x2，Bx|xa，若ABA，则a的取值范围是（ ）Aa|a2Ba|a1Ca|a1Da|a22已知复数，则|z|（ ）ABCD3设，则（ ）AbacBcbaCbcaDcab4人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，3040分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达
2、150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有f（x）10lg，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为（）A10B100C1000D100005已知函数f（x）是偶函数，当0时，则曲线yf（x）在x1处的切线方程为（）AyxByx+2CyxDyx26已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）A240种B360种 C480种D600种7如图所示，在棱锥中，底面是正方形，边长为，.在这个四棱锥中放入一个球，则
3、球的最大半径为（ ）A B C D8已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若PQF2的周长为12，则ab取得最大值时双曲线的离心率为（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A若两直线的斜率相等，则两直线平行 B若x5，则x10C若acbc，则ab D若sinsin，则10将函数的图象向左平移个单位长度，得到
4、函数f（x）的图象，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）Af（x）是偶函数 Bf（x）的最小正周期是Cf（x）的图象关于直线对称 Df（x）的图象关于点对称11下列命题不正确的是（ ）A过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直B如果平面平面，平面平面，那么平面平面C已知，为直线，为平面，若，则D，为直线，为平面，.“”的充要条件是“，且”12对于函数，下列结论正确的是（ ）A任取x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|2恒成立B对于一切x，都有f（x）2kf（x+2k）（kN*）C函数yf（x）ln（x）有3个零点D对任意x0，不等式f（x） 恒成立，则实数k的取值范围是）三填空题：本题
5、共4小题，每小题5分，共20分13已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为 14已知，展开式的常数项为15，则 15如右图所示，四个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 上有3个不同的点, 则=_16设函数f（x）|ln（x）|+x2，则使得f（2x）f（x+1）成立的x的取值范围是 四、解答题（共6小题，满分70分）17(10分) 在等差数列an中，已知a616，a1636（1）求数列an的通项公式an；（2）若_，求数列bn的前n项和Sn在，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解18(12分)某市规划一个平面示意图为如图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC
6、，CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，BCDCDEBAE，DE4km，BCCDkm（1）求服务通道BE的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？19（12分）三棱锥平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A1，（1）证明：BCA1D；（2）求二面角ACC1B的余弦值20（12分）某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件
7、磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按（7，8，（8，9，（9，10，（10，11，（11，12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如图的频率分布直方图（其中a，b，c成等差数列，且2c3b），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表抗疲劳次数（单位：万次）（7，8（8，9（9，10（10，11（11，12频数1015302520（1）求a，b，c的值并计算甲地实验结果的平均数（2）如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22列联表：质量不优秀质量优秀总计甲地乙地总计试根据上面完成的22列联表，通过计算分析判断，能
8、否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？附：临界值表 P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中K2的观测值k（3）如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为，求的分布列和数学期望21（12分）已知椭圆G：+1（ab0），上顶点为B（0，1），离心率为，直线l：ykx2交y轴于C点，交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N（1）求椭圆G的方程；（2）求证：SBOMSB
9、CN为定值22（12分）已知函数f（x）x22xalnx，g（x）ax（1）若a为负实数, 求函数F（x）f（x）+g（x）的极值；（2）若不等式对x0恒成立，求a的取值范围澄海中学2020-2021学年度第一学期第一次学段考试数学试卷 评分标准一、选择题答案(每小题5分，共40分;1-8题为单选题，9-12为多选题, 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)题号123456789101112答案DBCDCCDABCDADBCDABC6【解析】根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为a、b、c，分2步进行分析：，甲乙两人均在丙领导人的同侧，考虑甲乙两人的顺序，有224种情况，三人排好
10、后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排a，有4种情况，四人排好后，有5个空位，在5个空位中任选1个，安排b，有5种情况，五人排好后，有6个空位，在6个空位中任选1个，安排c，有6种情况，则剩余3人的安排方法有456120种，则6人不同的安排方法有4120480种；故选：C7【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为，连接，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为，求出四棱锥的表面积,以及四棱锥的体积，利用公式，即可计算. 故选：D8【解析】由题意，ABF2的周长为24， |AF2|+|BF2|+|AB|24，|AF2|+|BF2|AB|4a，|AB|， 244a，b2a（6a
11、），ya2b2a3（6a），y2a2（92a），0a4.5，y0，a4.5，y0，a4.5时，ya2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b，c3，e， 故选：A11【解析】对于，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条由此可得正确；在中，如果平面平面，平面平面，那么平面与平面相交或平行，故错误；在中，若，则与可能平行，可能异面，可能相交，故错误；在中，“”可得到“，且”， ，“，且”不能得到“”，故错 故选：12【解析】函数f（x）的图象如上图所示，由图象可知f（x）的最大值为1，最小值为1，A选项正确；又由图可知f（x+2k）（）kf（x）（kN*）即f（x）2k
12、f（x+2k），B选项正确；由图象知yf（x）与yln（x）有3个交点，C选项正确；又由图象知对任意x0，不等式f（x） 恒成立须（）n在nN*时恒成立，即k1，故D选项错误故选：ABC二、填空题答案(每小题5分，共20分)13 5 14 1 15 16（，）（1，+）15【解析】由图可知,FAC=30,ACF=60，即；则.同理所以.故答案为18.16【解析】根据题意，函数f（x）|ln（x）|+x2，其定义域为R，有f（x）|ln（+x）|+x2|ln（x）|+x2f（x），即f（x）的偶函数，当x0时，x，则有0x1，则有ln（x）0，则当x0时，f(x)|ln（x）|+x2ln（x）+
13、x2ln（+x）+x2，函数yln（+x）和yx2在区间0，+）上都是增函数，则f（x）在0，+）上为增函数，f（2x）f（x+1）f（|2x|）f（|x+1|）|2x|x+1|，变形可得：4x2x2+2x+1，即3x22x10，解可得：x或x1，即x的取值范围为（，）（1，+）；四、解答题(共6道题，满分70分)17解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d，则，解得， 3分故an6+（n1）22n+4，nN* 5分（2）方案一：选条件由（1）知， 7分则Snb1+b2+bn10分方案二：选条件由（1）知，（i）当n为偶数时，n1为奇数，Snb1+b2+bn 6+810+12（2n+2）+（
14、2n+4）（6+8）+（10+12）+（2n+2）+（2n+4）2+2+22n， 7分（ii）当n为奇数时，n1为偶数，Snb1+b2+bn6+810+122n+（2n+2）（2n+4）（6+8）+（10+12）+2n+（2n+2）（2n+4）2+2+2（2n+4）2（2n+4）n5， 9分 10分方案三：选条件由（1）知，（2n+4）22n+4，则Snb1+b2+bn626+828+10210+（2n+4）22n+4，6分两式相减，可得7分，9分 10分18 解：（1）连接BD，BCDCDEBAE，DE4km，BCCDkm在BCD中，由余弦定理可得：BD2BC2+CD22BCCDcosBCD
15、3+3+29，BD3，2分BCCD，CBDCDB，又CDE， BDE，在RtBDE中，BE5 6分（2）在BAE中，BAE，BE5，由余弦定理可得：BE2AB2+AE22ABAEcosBAE，即：25AB2+AE2+ABAE， 7分可得：（AB+AE）225ABAE（）2，从而（AB+AE）225，即：AB+AE， 10分当且仅当ABAE时，等号成立， 11分即设计为ABAE时，折线段赛道BAE最长12分19（1）证明：A1A平面ABC，BC平面ABC，A1ABC， 1分在RtABC中，BC，由，得， 2分又，DBAABC，ADBBAC90，即ADBC， 3分又ADA1AA，故BC平面A1AD
16、，A1D平面A1AD，所以BCA1D；5分（2）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 6分则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，），C1（0，1，），平面ACC1A1的法向量为， 7分设平面BCC1B1的法向量为，由，得，故， 9分所以，11分故二面角ACC1B的余弦值为12分20解：（1）由频率分布直方图的性质可得，0.05+a+b+c+0.351，即a+b+c0.6，a、b、c成等差数列，2ba+c，b0.2， 又2c3b，a0.1，c0.3， 2分3 ，故抗疲劳次数的平均数为9.3万次 3分 （2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得
17、：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100（0.35+0.2+0.05）60件，不超过9万次的件数为1006040件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为41+25+975件, 不超过9万次的件数为1007525件，补充完整的22列联表为 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 40 60 100 乙地 25 75 100 总计 65 135 2004 分， 5分有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关 6分（3）在甲地试验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为（0.2+0.05）10.25，以频率估计概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率为， 7分而的可能取值为0
18、，1，2，3，4， P（0），P（1），P（2），P（3），P（4） 10分的分布列为 0 1 2 3 4 P 数学期望E（）12分21 解：（1）由题意可知：，解得，椭圆G的方程为：； 3分（2）设点P（x1，y1），点Q（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+2k2）x28kx+60，4分， 5分点P（x1，y1），B（0，1），直线BP的方程为：y1x，令y0得，x，M（，0）， 7分同理可得N（，0），8分SBOMSBCN|xMxN| 10分把式代入上式得：SBOMSBCN，SBOMSBCN为定值 12分22解：（1）F（x）x22xalnx+ax， F（x）的定义域为（0，+），
19、1分，即2a0时，F（x）在和（1，+）上递增，在上递减，F（x）极小F（1）a1； 2分，即a2时，F（x）在（0，+）上递增，F（x）没有极值；3分，即a2时，F（x）在（0，1）和上递增，F（x）在上递减，F（x）极大F（1）a1，4分综上可知：当a2时，F（x）没有极值；当2a0时，F（x）极小F（1）a1； 当a2时，F（x）极大F（1）a1，5分（2）设（x0）， 6分设tcosx，则t1，1， ， 7分（t）在1，1上递增，（t）的值域为，当时，h(x)0，h（x）为0，+）上的增函数，h(x)h（0）0，适合条件； 8分当a0时，不适合条件； 9分当时，对于，令,存在,使得x(0，x0)时，T(x)0.T（x）在（0，x0）上单调递减，T（x0）T（0）0，即在x（0，x0）时，h（x）0，不适合条件 11分 综上，a的取值范围为 12分【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论思想的应用，难度比较大