1、考点67 坐标系1在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标【答案】（1）（2）， ， 且当时，取最大值，此时，所以，此时.2选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,圆经过伸缩变换后得到曲线,相互垂直的直线过定点与曲线相交于两点, 与曲线相交于两点.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)求的最小值.【答案】(1) (2) 3在平面直角坐
2、标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线.（1）将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线，请写出直线，和曲线的直角坐标方程；（2）若直线经过点且， 与曲线交于点，求的值.【答案】(1) ， ；(2)2. 【解析】 (1)因为，所以的直角坐标方程为； 设曲线上任一点坐标为，则，所以， 代入方程得： ，所以的方程为. (2)直线： 倾斜角为，由题意可知，直线的参数方程为（为参数），联立直线和曲线的方程得， .设方程的两根为，则，由直线参数的几何意义可知， 4选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：1经过伸缩变换后得到曲线以
3、坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线L的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线L的直角坐标方程；（2）设点M是上一动点，求点到直线L的距离的最小值【答案】（1）（2） 5选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线：.（1）若直线与曲线相交于点，点，证明：为定值；（2）将曲线上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）1（2）8 6已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半
4、轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换： 得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离.【答案】（）,;（） 7（选修44；坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程是,曲线经过平移变换得到曲线；以极点为原点,极轴为轴正方向建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是 (为参数).(1)求曲线， 的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线交于、两点,点的直角坐标为(2,1),若,求直线l的普通方程.【答案】() :. ； () 或 8选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点， 轴正半轴为
5、极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），为上一点，以为边作等边三角形，且、三点按逆时针方向排列.（）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；（）若曲线： ，经过伸缩变换得到曲线，试判断点的轨迹与曲线是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.【答案】（1）（2）【解析】（）设点的坐标为，则由题意可得点的坐标为，再由点的横坐标等于， ， 9选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.（1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程； （2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面
6、积.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）因为圆：（为参数），所以圆的普通方程是因为圆：，所以圆的直角坐标方程是.（2）因为圆：，圆：，两式相减，得，即公共弦所在直线为，所以点到的距离为，所以公共弦长为，所以.10在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系，圆的极坐标方程为（1）若直线l与圆相切，求的值；（2）若直线l与曲线（q为参数），交于A，B两点，点，求【答案】（1）；（2）。所以， 所以11在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交
7、于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.所以， 解得，此时满足.且，故. 12在平面直角坐标系xy中，曲线C的参数方程为为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为。（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求PAB面积的最大值.【答案】（1）；（2）。 13在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），设是曲线上任一点，是曲线上任一
8、点.(1)求与交点的极坐标；(2)已知直线，点在曲线上，求点到的距离的最大值.【答案】（1）与的交点极坐标为与；（2）点到的距离的最大值为. 14在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为(为参数，)(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)证明：直线l和曲线C相交，并求相交弦的长度【答案】（1），（2） 15在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过点和极点（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）直线和曲线相交于两点、，求线段的长【答案】
9、(1) ；(2) 16在直角坐标系中,直线过点,倾斜角为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程(2)若直线与曲线交于不同的两点,当最大时,求出直线的直角坐标方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直线l的参数方程为(t为参数)，把代入曲线C的极坐标方程可得直角坐标方程为，（2）设A，B对应的参数分别为，把直线l的参数代入曲线C的直角坐标方程可得，因为有两个交点，所以，解得，当时，最大，此时，所以直线l的直角坐标方程为 17 在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数）；在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线
10、的极坐标方程为 ，射线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线、分别相交于、两点，求的取值范围.【答案】(1)(2) 18在直角坐标系中，直线：（为参数，其中为直线的倾斜角）与曲线：（为参数）相交于不同的两点，（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的斜率【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的普通方程为(2). 19在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线交曲线于两
11、点(在轴上方)，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意得点的直角坐标为，将点代入得则直线的普通方程为. 由得，即.故曲线的直角坐标方程为. （2）设直线的参数方程为（为参数），代入得 设对应参数为，对应参数为则，且.20在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）点为曲线上的动点，为曲线上的动点，求的最小值.【答案】（1），；（2）. 21在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求圆C的参数方程；（2）在直角坐
12、标系中，点是圆C上动点，试求的最大值，并求出此时点P的直角坐标【答案】（1）（为参数）（2）622在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与的公共点的直角坐标为_【答案】【解析】由得 ，由得 ，联立方程组解得 ，即公共点的直角坐标为. 23已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）把的参数方程式化为普通方程，的极坐标方程式化为直角坐标方程；（）求与交点的极坐标【答案】（）；（）与交点的极坐标分别为. 24选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，将曲线（为
13、参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，与曲线的交点为，求的面积.【答案】（）;（）. 25选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；()设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.【答案】() ; () 【解析】解：(1)由消去参数，得曲线的普通方程为由得，曲线的直角坐标方程为(2)设，则点到曲线的距离为当时，有最小值，所以的最小值为